牌的情况下）减去两张牌都是红牌的机会。
这等于12 十13 — 12 ×2551，它采用了上面使用合取公理所取得的结
果。
可以明显看出，已知任何有限的事件集合的各自概率，通过公理V 和公
理VI，我们能够计算出它们都出现，或者它们当中至少有一个出现的概率。
根据合取公理我们得出：
p/ qh =
（p/h ×（ （ 和））qph
（和）
q/h
这叫作“逆概率原理”。它的用处可以举例说明如下。设p 为某种一般理论，
q 为一个与p 相关的实验与件。那么p/h 就是在前所已知的与件下理论p 的
概率，q/h 就是在前所已知的与件下q 的概率；q/（p 和h）就是当p 为真时q
的概率。这样理论P 在已经发现q 以后的概率等于p 先前的概率乘以q 在已
知p 的条件下的概率，并除以q 先前的概率。在最有用的情况下，理论p 将
是一个蕴涵q 的理论，结果q（p 和h）=1。在这种情况下。
p/ qh =
q/h
。
（和）
p/ h
这就是说，新的与件q 使p 的概率按照与q 的先在的不大可能性成比例的方
式增加。换句话说，如果我们的理论蕴涵某种非常令人惊奇的事物，而这种
令人惊奇的事物后来被人发现存在，这就大大增加了我们的理论的概率。
这个原则可以拿发现海王星作例来说明，把它当作万有引力定律的证
实。这里p=引力定律，h＝在发现海王星之前所有有关事实，q=在某一地点
发现海王星这件事实。这样q/h 就是一个至今尚未发现的行星将在某一小的
天体领域内被发现的先在概率。让我们用m/n 来表示它。那么在海王星被发
现之后，引力定律的概率为以前的n/m 倍那样大。
从判断新的证据对于一种科学理论的概率的关系上来说，这个原则显然
是很重要的。可是我们将发现结果却有些令人失望，不能产生可以期待的好
的结果。
有一个重要的命题，有时叫作贝那士定理，内容有如下述：设P1，P2，。。
Pn 为n 个互相排斥的可能，我们知道其中某一个为真；设h 为一般与件，q
为某件有关的事实。我们想知道一种可能p，在已知q 的条件下的概率，如
果我们知道对于每个r 来说，每一pr 在尚未知道q 时的概率以及q 在已知
Pr 的条件下的概率。我们有
n
Pr/ qh q/ （pr h pr/h ） / 。（（ pr，和）·pr /h ）
（和）＝（和）·qh
1
这个命题使我们能够，比方说，解决下面的问题：我们已知n＋l 个口袋，其
中第一个口袋装有n 个黑球，没有白球，第二个口袋装有n…个黑球和一个白
球，第r＋1 个口袋装有n…r 个黑球和r 个白球。选出一个口袋，但是我们并
不知道是哪一个；从中取出m 个球，发现都是白的；那么第r 个口袋被选中
的概率是多少？从历史上来看，这个问题的重要是因为它与拉普拉斯自称的
归纳证明有关。
再看柏诺利的大数定律。这个定律说，如果在许多场合当中每一个场合
发生某一个事件的机会是p；那么，在已知不管多么小的任意两个数δ和ε的
条件下，从某一定数目的场合往后，发生这个事件的场合的多少与p 的差将
永远大于ε的机会小于δ。
让我们拿抛掷钱币作例来说明。我们假定出正面和反面具有同样的概
率。
我说在你已经掷过不少次之后，出正面的机会与
12
的差非常可能将不会超过
ε，不管ε可能多么小；我还说不管ε可能多么小，在第n 次抛掷之后，无
论在什么地方出现这样一个差别的机会小于δ，只要n 足够大。
由于本命题在概率的应用上有着很大的重要性，比方说对于统计，所以
让我们多费一点时间，就上面这个抛掷钱币的实例来说，弄清楚本命题所说
的意思到底是什么。让我们说，我先断言从某点往后，钱币出正面的百分比
将永远保持在49 与51 之间。你349 不同意我的说法，于是我们决定在可能
范围内用经验的方法就它进行试验。这个定理断言我们进行的时间越久，我
们就越有可能发现我的说法有事实根据，并且随着抛掷次数的增加，这种可
能就越来越接近必然性这个极限。我们将假定，实验让你相信从某点在后，
出正面的百分比永远保持在49 与51 之间，但是我现在说从某个更靠后的点
往后，它将永远保持在49。9 与50。1 之间。我们重做这种实验，过了一段时
间之后你又一次被说服，虽然时间可能要比以前长一些。经过任何已知数目
的抛掷之后，我的主张有着可能不被证实的机会，但是这种机会随着抛掷次
数的增加而减少，并且可以通过相当持久继续这样做下去而变得小于任何指
定的机会，不管它多么小。
上面的命题容易从那些公理演绎出来，但是当然不能用经验的方法充分
得到试验，因为这涉及到无限级数。如果我们所能进行的试验看来已经证实
了它，反对者永远可以说，如果我们接着进行下去，结果就可能不是这样；
如果我们所能进行的试验看来不能证实它，支持这个定理的人同样可以说，
我们继续做的试验还不够多。所以这个定理既不能被经验界的证据证实，也
不能被它否证。
上面是对于我们的讨论有着重要关系的纯粹概率论中的一些主要命题。
对于n＋1 个口袋，每个口袋装有n 个球，其中一些是白球，另外一些是黑球，
第r＋l 个口袋装有r 个白球和n…r 个黑球这个题目我还想再说几句话。下面
是与件：我知道这些口袋装有不同数目的白球和黑球，但从外面看却没有办
法把它们区分开来。我随便挑选了一个口袋，并且一个一个地从中取出m 个
球，取出之后就不再放入。结果它们都是白球。鉴于这个事实，我想知道两
件事：第一，我挑选只有白球的口袋的机会有多少，第二，我下一次拿出的
球是白球的机会有多少？
我们照下面的方法来做。设h 为按上面所说的情况安排好的口袋那件事
实，q 为已经取出m 个球那件事实；并设Pr 为我们已经350 挑中装有r 个白
球的口袋的假设。显然r 必须至少和m 一样大。
如果r 小于m，那么pr/qh=0，并且q/prh＝0。经过一些计算，得出的
结果是我们已经挑中其中都是白球的口袋的机会等于
m ＋ 1
o
n ＋ 1
我们现在想知道下一次拿出的球是白球的机会是多少。经过进一步的计
算，结果这种机会等于
mm
＋
＋ 12
。
注意这个结果是不以n 为转移的，并且如果m 大，它就非常接近1。
在上面的简略叙述中，我并没有把关于归纳问题的论证包括进去，我将
把那些论证推到后一个阶段去讨论。我将首先研究概率的某种解释的适当
性，就这个问题可以与有关归纳的问题分开的限度内进行考察。
第三章有限频率的解释
在本章内我们要研究的问题是关于“概然性”的一种非常简单的解释。
首先我们必须证明这种解释满足第二章的公理，然后再初步考察这种解释可
以在多大范围内囊括“概然性”这个词的通常用法。我将把这种解释叫作“有
限频率说”，以区别于后面我们将要研究的另一种频率说。
有限频率说从下面的定义出发：
设日是任何一个有限集合，而A 是任何一个另外的集合。我们想确定任
意选择的日的一个分子为A 的一个分子的机会，比方说，你在街上遇见的第
一个人名叫斯密土的机会。我们把这种概率定义为B 的分子也是A 的分子的
数除以日的总数的商。我们用A/B 这个符号来表示它。
显然给予这样定义的概率一定是一个有理分数或者就是0 或1。
几个具体的例子就可以让我们看清楚这个定义的意义。一个任意挑选的
小于10 的整数为质数的机会是多少？有9 个整数小于10，其中5 个是质数；
所以机会是5/9。假定你不知道我的生日，那么在我去年生日那天剑桥下雨
的机会是多少？如果剑桥下雨的天数是m，那么机会就是m/365。一个人在伦
敦电话簿里出现为斯密士这个姓的机会是多少？为了解决这个问题，你必须
先数一下在“斯密士”这个姓下面的项目，然后数一下全部项目，并以后面
的数去除前面的数。从一副纸牌里随便抽出的一张纸牌为黑桃的机会是多
少？显然是13/52，即1/4。如果你已经抽出一张黑桃，那么你再抽出一张黑
桃的机会是多少？答案是12/51。一次掷出的两个骰子，数目加起来为8 的
机会是多少？骰子有36 个可能出现的给局，其中有5 个数目加起来为8，所
以机会是5/36。
显然就许多简单例子来说，上面的定义所得的结果符合于概然性的习惯
用法。现在让我们擦究一下给予这样定义的概然性是否满足那些公理。
我们现在必须把公理中出现的字母p，q 和h 当作类或命题函项，而不是
命题。我们不说“h 蕴涵p”，而说“p 包含h”；“p 和q”代表p 和q 两类
的共同部分，而“p 或q”则代表由所有属于p 或q 或者同时属于p 与q 两类
的项目所构成的类。
我们的公理是：
I。p/h 只有一个唯一的值。除了在h 为零，因而p/h=％的情况外，这个
公理为真。因此我们假定h 不为零。
II。p/h 的可能值是所有从0 到1 的实数。照我们的解释，它们将仅是有
理数，除非我们能找到一种方法把我们的定义扩展到无限类。这并不是容易
做到的事，因为当除法涉及到的数目是无限数的时候不能得出唯一的结果。
III。如果h 包含于p；那么p/h=1。在这种情况下，h 与p 的共同部分是h，
所以根据我们的定义就可以得出上面的结果。
IV。 如果h 包含于非p；那么p/h＝O。从我们的定义就可以看出这一点，
因为在这种情况下h 与p 的共同部分是零。
V。合取公理。照我们的解释来讲，h 的分子同时为p 和q（的分子所占的
比例数等于h 的分子同时为p 的分子所占的比例数乘以p 与h 的分子同时为
q 的分子所占的比例数。假定h 的分子数为a；同时属于P 和h 的分子数为b，
而同时属于p；q 和h 的分子数为c。那么h 的分子同时为p 和q 的分子所占
的比例数是c/a；h 的分子同时为p 的分子所占的比例数是b/a；而p 和h 的
分子同时为q 的分子所占的比例数是c/b。这样我们的公理就得到了证实，
因为c/a=b/ax c/b。
VI。析取公理。如果保留上面所说的a；b；C；的意义，并让d 为h 的分子
同时为p 或q 或者同时属于p 与q 两类的分子数，而e 为h 的分子同时为q
的分子数，那么照我们现在的解释来讲，这个公理就表示：
d bec
a
=
a
＋
a
…
a； 即d = b ＋ e …c；
这又是很明显的一个结果。
这样，如果h 是一个有分子的有限类，那么这就可以满足我们的公理，
只要不把概率的可能值限为有理分数的话。
由此可以看出数学的概率论照上面的解释来讲是正确的。
可是我们还需要看一下给予这样定义的概率的范围，这种范围初看似乎
过于狭小，不能满足我们对于概率的应用所抱的期望。
首先，我们希望能够说出某个特定事件具有某种特点的机会，而不仅仅
是某一类中某个未经指定的分子所具有的机会。例如：你已经掷出两个骰子，
但是我还不曾看到结果。对我来说，你掷出双六的机会是多少？我们想能够
说出它是1/36，而如果我们的定义不允许我们这样说，它就不能充分满足我
们的要求。在这种情况下，我们说我们把一个事件仅仅当作某一类的一个实
例来看待；153 我们说如果把a 只当作B 类中的一个分子，那么它属于A 类
的机会是A/B。但是“把一个特定事件仅仅当作某一类的一个分子来看”所
表示的意思是不很明确的。这样一种情况所包含的内容是：我们已知一个事
件的某种特点，这种特点凭借比我们所有的更为完备的知识，足以使这个事
件唯一确定下来；但是只凭借我们的知识，我们就没有方法确定它是否属于
A 类，尽管我们确实知道它属于B 类。你在掷出骰子以后知道掷出的结果是
否属于双六这一类，但是我却不知道这一点。我仅有的一点有关的知识是它
是36 个可能的掷出结果之一。或者看一看下面的问题：美国身材最高的人居
住在衣阿华州的机会是多少？有人也许知道他是谁；至少有着一种发现他是
谁的方法。如果使用这种方法成功，那就出现一个不包含概然性在内的确定
答案，即他要么在衣阿华州居住要么不在衣阿华州居住。但是我却没有这种
知识。我可以说衣阿华州的人口为m，而美国人口为n；并且说相对于这些数
据来说，他在衣阿华州居住的概率是M/n。这样当我们说到一个具有某种特
点的特定事件的概率时，我们就总要把借以计算概率的有关数据确定下来。
我们可以概括他讲：已知任何一个物体a，并且已知a 是B 类的一个分
子；我们说凭借这个数据，按照上面所说的概率的定义，a 是A 类的一个分子
的概率是A/B。这个概念是有用的，因为我们常常充分知道某个物体，使得
我们可以唯一确定地给它下出定义，而无需知道它是否具有这种或那种属
性。“美国身材最高的人”是一个确定的描述，这个描述适用于一个并且只
适用于一个人，但是我并不知道他是什么人，因而他是否居住在衣阿华州对
我来说仍然是个未决的问题。“我要抽出的一张牌”是一个确定的描述，并
且我立刻就会知道这个描述是否适用于一张红牌或是一张黑牌，但是现在我
还不知道。正是这种很常见的关于特定物体的部分无知的情况使得在特定的
物体身上应用概率成了有用的东西，而不仅是应用到类中完全没有确定的分
子身上。
虽然部分无知是使上面的概率形式有用的原因，概率这个概354 念却不
包含什么无知，这个概念对于全知来说仍然具有和对于我们来说同样的意
义。全知会知道a 是否为一个A，�