硪环矫妫绻颐遣还苤魈逯欠窬醪炖纯悸墙峁沟姆⒄购椭鸩酵晟苹悄┱庵滞晟苹坪蹙驮谟冢喊研问礁谌萸鹂矗⑶掖拥图缎问匠龇⑼ü瓷沓橄罄创唇ㄒ恍┬碌男问剑谡庖环矫妫呒Ъ业男问交蠢淳褪前鸦竦昧送骋坏墓滔蚪细咚嚼┱梗皇堑构矗浅酥猓贡硐殖隽艘恢直局噬鲜切碌奶氐恪�
再者，如果公理化是以某些反身抽象过程作为其基础的话，公理化就会使这些过程具有越来越多的灵活性。当逻辑学家在概念上推出一些基本原理，如同一律、无矛盾律和排中律时，就会出现这样的反身抽象。但是我们必须深入一步，必须考察公理化的历史。我们发现在历史的早期，如在欧几里得时期，公理还是作为直觉的、不证自明的东西而被接受的，所以是从自然思维方面简单地惜用过来的，但是后来反身抽象变为一种有了分化的活动，这种活动考虑了它的目标，并把这些目标一般化。它获得了新的能力，能给直觉性变得越来越少的理论提供基础——在这方面，非欧几里得几何标志着一个根本的转折点。当形式化通过它本身的这种功能而变成专门化了的时候，便假定人们有完全的自由按体系的需要去选择公理，形式化也就不再依赖自然思维所提供的元素了。说得更确切些，如果我们把反身抽象分析成为把某些预先给定的关系投射到新的思维平面上这一准几何意义上的“反射”分析成为在这个新平面上重建这些关系所必需的重新组织这一理智意义上的“反射”，那末这后一方面就胜过了前一方面；而重建则包括了日益多样的再组合，以及在组合的种类方面的更大自由。这样，我们就有了比如三值逻辑的创建，这种逻辑不同于，但却十分接近于一般思维的逻辑；或者是无穷多值逻辑的创建，这种逻辑与我们对排中律的直觉是距离很远的。
总之，从发生学的观点来看，形式化很可以被认为是思维发展中已经出现的反身抽象过程的一种扩展。但是由于形式化可具有的日益增加的专门化和一般化，它显示出形成各种组合的可能性是不受拘束的、丰富多采的，这就大大地超越了自然思维的范围；形式化之所以能做到这一点，是依靠一种跟通过可能性借以预测现实性的过程相类似的过程。（请参阅本书第一章第六节末尾）。
B。从这里跟着就产生了我们的第二个问题：形式逻辑予以公理化的是什么？在数学史上，形式化了的理论几乎总是把早期的。直觉的或朴素的理论形式化。然而，看来这对于逻辑并不适用；要看到一种公理体系怎样能够有一个绝对的开端，还是有困难的。因为被选作一个体系的公理的那种未经证明的命题，和被用来定义后来的概念的那种未经定义的概念，都包含着一整套隐含的关亲。另一方面，对逻辑要素的论断，例如由命题p和q（或它们的真值）的十六种可能组合所形成的所有子集的集，本身就牵涉到这样一些运演，这些运演是先于在这体系中出现的那些运演的，在上述情况下，就牵涉到一个组合性运演，它使这个体系具有一个象布尔代数或它的补余分配格那样的代数集合结构。
对这个问题的最初一个解答应该是假定：逻辑就是我们对客体的认识的公理化，这是按照斯宾塞提出的同时在某种程度上也是龚塞思提出的“关于任何客体的物理学”这个意义上说的，在这里抽象是从客体的形式或客体间的关系开始的，“不以条件为转移”，从而不以客体某种量的特性或物理特性为转移。但是，物理的客体是存在于时间之中，并且总是在变化着的；以致当龚塞思谈到客体的同一性（A=A）、无矛盾性（它不能在同一时间内既是A 又不是A）、或排中律（要就是A，要就是非A）时，这就已经不是物理客体的问题——物理客体总是表现出某种变化，因而部分地超出了这些规律的问题——而是对任何客体所采取的行动问题：这是一件非常不同的事情，因为这些行动是在主体能进行运演以前出现的。
如果我们从主体的角度来看这个问题，我们可以一开始就把逻辑看作是一种语言，井像现代实证主义那样把它跟一种语法和一种一般的语义学联系起来：在这种情况下，逻辑就不是这个词的本来意义下所指的认识的一种形式，而是认识的纯粹形式，这种纯粹形式的公理化只是与分析的性质或同语反复的性质有关。但是发生学的研究表明，智力是先于言语而存在的，这种前言语的智力就已经包含着一种逻辑，也就是与活动格局的协调（联合、归类、顺序、对应等等）有关的逻辑，这种看法也得到乔姆斯基的语言学方面的结论的支持。其次，我们研究中心出版的《研究报告》之一（第四卷）曾经从发生学上证实了奎因对他称之为逻辑经验主义的“教条”之一——把分析性跟综合性判断截然分开——的批评是有充分根据的。实际上，人们发现分析性判断和综合性判断之间是有中间情况的，一切关系开始时都是综合性的，而是在某些情况下根据它们的内涵（这是主体给予他自己所用的概念或运演的含义，例如，在2＋3＝3＋2中的“＋”号）才变成分析性的。一切认识在初级水平都是从经验开始，但是从一开始我们就能区别出从客体作出抽象的物理经验，和从主体活动间的协调作出反身抽象的逻辑数学经验（例如为了验证2＋3=3＋2而把客体排成顺序，或者改变顺序）。这样，说运演具有所谓“同语反复”特征似乎就是有充分根据的了，如果我们把“同语反复”特征只理解为某些运演具有“永真”的性质的话：但是“永真”决不能归结为同一性，因为它可以从一个既是同一化过程又是分化过程的组合体系中产生出来。而且，每个形式化了的体系都是以公理为依据的，选择公理的三个标准是：这些公理必须是充分的、前后一致的、和相互独立的，这也就是说，在彼此的关系方面，它们不能是同语反复的。
如果逻辑不仅是语言的公理化，那末我们应不应当作出结论说，逻辑是把自然“思维”形式化呢？如果自然“思维”指的是主体有意识的思维，带有其直觉性和不证自明经验的话，那就一定得不出上述结论来；因为直觉和不证自明的经验在历史过程（贝尔纳斯）和个体发展过程中都是变动的，并不能成为逻辑的适当的“基础”。另一方面，我们可以越过那些可观察到的东西来尝试着建构结构，并不是从主体有意识他说的或想的什么来建构结构，而是从当他解决对他来说是新的问题时，他依靠他的运演所“做”的什么来建构结构。在这种情况下，我们就发现我们自己是在处理象INRC群这样的可以逻辑化的结构，这个群的存在是一九四九年我们观察儿童行为时发现的（参阅本书第一章第六节）。这样，如果我们从自然结构的特殊而有限度的意义上来理解自然“思维”，我们就可以把逻辑看作是这些结构的形式化，以及随后的超越这些结构，正如科学的算术形成“自然数”的一部分，而同时又以越来越有成效的方式去使自然数臻于完备。亚里士多德的逻辑提供了把自然结构和形式化再建过程连结起来的一个例子——一个十分说明问题的例子；因为它表明亚里士多德没有意识到这些最初结构所能提供的一切可能性：他不知道关系逻辑和集结构的存在。因此，进行形式化所必需的、甚至是进行通常称为三段论法（这是直觉的不完全形式化的一个典型例子）所必需的反身抽象，是通过时间上缺乏衔接的方式而重新建成的，从而是一步一步地前进的；正是这个进程使所有后来的完整化成为可能。说逻辑就是自然运演结构的形式化从而就和下述观点十分一致，这种观点认为，公理化，正如我们在A部分曾经看到的，会产生一种专门化了的思维形式，从而获得它本身的自主性和特有的丰富性（关于问题A和B，可参阅《研究报告》第十四卷到第十六卷）。
C。 从自然结构的形式化跟自然结构心理发生学上的发展二者之间的关系这个观点来看，重提一下如下事实是很有启发的，即：尽管形式化有其独立性和威力，但现在已经证明它具有确定不移的局限性（参看戈德尔、塔斯基、丘奇、克利恩、图灵、勒文海姆…斯科莱姆等人的著作）。虽然这些局限性是可以替换的，因而是随着结构的向前发展而减少的，但它们在下列意义下仍然是真实的，即：非常彻底的形式理论，如果只根据它自身的体系，是既不能证明它本身的无矛盾性，也不能证明其所有定理的可判定性的，它还需要以“更强的”体系作为基础来作出这种证明，由于更强的结构只能跟在它以前的结构之后出现（例如，超穷算术之出现在初等算术之后）；在阶梯式体系中最简单的结构又总是最弱的结构（在这里就是罗素的《数学原理》的逻辑对于初等算术的关系），我们觉得我们自己面临着两个看来多半与发生学的看法有联系的基本事实：（a）存在着把结构按其“强度”排列的阶梯式体系，（b）需要对结构作建构主义的处理，因为结构的系统不能正确地比喻为建立在其台基上的静止的金字塔，而只能比作其高度在不断地增加的螺旋体。
如果情况是如此，我们怎么能解释形式化的可以替换的局限性呢，我们猜想，形式化跟发生学的建构具有类似性，这种类似性提供了一个解答：形式和内容的概念在本质上是相对的，形式或形式化结构是不能达到一种完全的自主性的。在心理发展领域里，这是清楚的：感知运动结构对它们所调整的简单运动而言是形式，但对下一水平的内化了的和概念化了的活动而言则是内容；“具体”运演对上面这些活动来说是形式，但对十一岁到十五岁时已出现的形式化运演来说则是内容；再者，这些形式化运演对于在以后各水平上应用于它们的那些运演来说又只不过是内容了。同样地，在戈德尔所提出的例子中，初等算术是形式，它把类和关系逻辑包括进来作为其内容（数是归类和序列化的综合，见本书第一章，第五节），而初等算术本身作为可数的东西的幂，则是超穷算术的内容。
如果情况是这样，人们就会看到，形式必然是会有局限性的，这就是说，在没有整合到一个更全面的形式中去时，它不能保证自身的前后一致性，因为它的存在本身是从属于整个建构过程的，它只是这个过程的一个特殊方面。让我们举一个没有数那么专门的例子。在具体运演水平上，我们能在分类和序列化之间分析出某些隐含的关系来：在下述分类中， A＋A'＝B；B＋B'=C；等等，把低级（这是与A'，B'，C'等等相对立的类）归到高级类中去的先后顺序，就是一个序列化过程：（A＜B