对角线不可公约的定理的证明时，他明白地说：我们由一个三段论可知：这个定理的矛盾将导致荒诞的后果，即奇数应等于偶数，但定理本身是由一个假设来证明的，因为当它被否定时，就得出虚假的命题。
①亚里士多德断定，所有其它假设论证都是这一类的；因为在每一场合，三段论都导致一个与原断定命题不同的命题，而原断定命题是由认可或由某些其它的假设所得到的。
②当然，所有这些都是不真实的；亚里士多德并不懂得假设论证的性质。
Ｂａｒｏｃｏ式与Ｂｏｃａｒｄｏ式是用易位定律来证明，不是由认可或由某些其它的假设而达到的，而是由一个清楚的逻辑定律来进行的；同时，它确实是在另外一个基础上对一个直言三段论的证明，但它不是由一个直言三段论来进行的。
在《前分析篇》第一卷之末，亚里士多德指出有许多假设论证应当加以考虑和描述，并许诺将在以后来作这项工作。
③这个诺言他并未在任何地方兑现。
①这个任务留给了斯多亚派。
他
①《前分析篇》ｉ。
２３，４１２３，“凡是进行归谬论证的人们，用三段论的方法推出虚假的命题，并且，就假设地证明了原来的结论了，当从它的矛盾的假定而得出某些不可能的东西的时候；例如，正方形的对角线是不能与其一边通约的，因为如果假定可以通约则奇数将会等于偶数。
一个人用三段论推出奇数将会等于偶数，他就通过假设证明了对角线不能通约，因为通过它的矛盾就会得到一个虚假的命题。“
②《前分析篇》ｉ。
２３，４１ａ３７，“所有其它的假设三段论都是一样；因为在每一场合，三段论都导致一个由代换原断定命题而得的命题，而原断定命题是由认可或某些其它假设所得到的。”
③同上４，５０ａ３９，“许多其它论证也是借助于一个假设而导致结论的；这些我们也应当考虑并弄清楚，我们将在以后来描述这些假设的论证的差别和形成的各种方式。”
〔Ｗ。
Ｄ。
罗斯主编的《亚里士多德全集》英译本（１９２８年牛津版）
在此处加上了一个脚注：“这个诺言在亚里士多德的现存著作中未曾兑现。”
——译者注〕
…… 99
１８。归谬法证明A ７８
们把这个假设论证的理论包括在他们的命题逻辑系统之内，在那里，复杂易位律找到了自己合适的地位。
在埃奈西德谟斯的一个论证的场合（它与我们的目的无关）
，斯多亚派学者分析了以下的推论规则，它相当于复杂的易位律：“如果第一并且第二，则第三；但非第三并且第一；所以非第二”。
②这个规则化归为斯多亚派逻辑的第二个和第三个不可证明的三段论。
我们已经知道了第一个不可证明的三段论，那就是肯定前件的假言推理；第二个是否定后件的假言推理（ｍｏｄｕｓ
ｔｏｌCｌｅｎｓ）
：“如果第一，则第二；但非第二；所以，非第一”。
第三个不可证明的三段论从否定的合取式开始而读作：“非（第一并且第二）
；但第一；所以，非第二。“根据塞克斯都恩披里W可，这个分析是这样进行的：用第二个不可证明的三段论，从蕴涵式”如果第一并且第二，则第三“
，以及它的后件的否定“非第三”
，我们得到它的前件的否定“非（第一并且第二）”。
从这个命题（它是实际包含在前提中，但未用文字明显地表示出来）与前提“第一”结合在一起，用第三个不可证明的三段论得出结论“非第二”。
③这是我们归之于斯多亚派学者
① 亚历山大３８９。
３２，他在注释这一段的时候说：“他说有许多其它的结论也是借助于一个假设而导致结论的。
因为打算在以后更加详尽地来分析这些论证，所以他把它们搁下了。
但是，他并未留下任何与此有关的著作。“
② 斯多亚派学者用序数词指示命题变项。
③ 塞克斯都恩披里可（穆契曼编）
《反数学家》，ｖｉ。
２３５—２３６：“这个规W则〔即指埃奈西德谟斯（怀疑论者，约与西塞罗同时——译者注）作为问题提出的〕化归为借助于第二个和第三个不可证明的式的论证，正如可以从对我们具有更大明晰性的分析中学会的一样，如果我们把关于式（ρDπ）的理论表述如下：E J F
…… 100
８８第三章 亚里士多德三段论系统
的最干净利落的论证之一。
可见有才能的逻辑学家在两千多年前以我们今天所作的同样方式进行了推理。
１９。显示法证明A用换位法和用归谬法证明，对于将不完全的三段论化为完全的三段论说来是足够了。
但亚里士多德还作出了第三种证明，即所谓用显示法证明（‘Dθ∈σι）。
虽然对亚里士多德系M G统来说，它是无关紧要的，但它们本身是有兴趣的，并且值得仔细研究。
在《前分析篇》中仅有三处地方亚里士多德对这个证明作了一个简短的刻画。
第一处是与证明Ｅ前提的换位相联系的，第二处是Ｄａｒａｐｔｉ式的证明，第三处是Ｂｏｃａｒｄｏ式的证明。
‘θDσθαι一字仅仅出现在第二处，但无疑另两段也是指的用M G M显示法证明。
①
‘如果第一并且第二，则第三；令第三被否定，但第一被采用；这样就得到第二的否定’。
因为那时我们有一个蕴涵式（σημμD ＝ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ）
，其前件（γDμF M F J F J F M F J F＝ａｎｔｅｃｅｄｅｎｔ）是合取式（δμππγμD ＝ｃｏｎｊｕｎｃｔｉｏｎ）
，即‘第一并且第二’，其F M Q M F J F后件（γ＝ｃｏｎｓｅｑｕｅｔ）是‘第三’，而我们有一个矛盾的后件，即‘非第Q J F三’，根据第二个不可证明的式，我们也得到一个矛盾的前件，即‘非（第一并且第二）
‘。
然而这一切都潜在地包含在规则之中。
因为在我们这里各前提将结合起来；如果我们说出来，它就全被显露出来。
当其与余下的命题‘第一’～P （H J F‘ò
πρω～‘）
相联结时，根据第三个不可证明的式，我们将有综合的结论所以，H ＇ J F‘非第二’。“
〔～P 此处古抄本作第一个（πρω～π）
（命题）
；科恰尔斯基氏作：论H J F J F式的（～ ρπ）
（命题）
；手抄本作：（命题‘第一’‘～ òπρω～γ’）。
又，H J F E J F H J F H E Jρóｓ＝由变项表达的式。
〕H E J① 还有另外两段关于显示法的篇章；《前分析篇》３０ａ１５—１４及３０ｂ３１—４０（这个提示我得之于Ｗ。
Ｄ。
罗斯爵士）
，但都是有关模态三段论的图式的。
让我
…… 101
１９。显示法证明A ９８
们从第一处开始，它这样说：“如果Ａ属于无一Ｂ，Ｂ也不会属于任何Ａ。
因为，如果它应属于某些，如Ｃ，则Ａ属于无一Ｂ就不是真的；因为Ｃ就是Ｂ的某些分子。“
①Ｅ前提的换位在这里是用归谬法加以证明的，但这个归谬证明基于Ⅰ前提的换位，而Ⅰ前提的换位是由显示法证明的。
用显示法证明需要引入一个新词项，叫做“显示词项”
（ｅｘｐｏｓｅｄ
ｔｅｒｍ）
；它在此处，就是Ｃ。
由于这段文字的隐晦，这个Ｃ的恰当的意义以及这个证明的逻辑结构只有用揣测来得到了。
我将根据现代形式逻辑试着对这问题加以解释。
我们要证明Ⅰ前提的换位律：“如果Ｂ属于有些Ａ，则Ａ属于有些Ｂ”。
亚里士多德为此目的引入一个新词项Ｃ；从他的话中，可知Ｃ包含于Ｂ之中也包含于Ａ之中，由此我们可得到两个前提：“Ｂ属于所有Ｃ”及“Ａ属于所有Ｃ”。
从这些前提，我们能用三段论（用Ｄａｒａｐｔｉ式）推出结论“Ａ属于有些Ｂ”。
这是亚历山大提出的第一个解释。
②但这个解释是可以反驳的，它预先假定了Ｄａｒａｐｔｉ式，而这个式是还没有被证明的。
因此，亚历山大宁愿采取另外一个不是基于三段论的解释；他主张词项Ｃ是一个由知觉提供的单一词项，而显示证
①《前分析篇》ｉ。
２，２５ａ１５〔据Ｗ。
Ｄ。罗斯校正〕。
②亚历山大３２。
１２，“如果Ｂ属于有些Ａ，……令它也属于Ｃ。
令它（Ｃ）是有些Ａ，这些Ａ也是Ｂ所属于的。
令Ｃ整个地包含在Ｂ之中且成为Ｂ的一部分，而Ｂ表述所有的Ｃ。
因为说一个东西被包含在另一个东西的全部之中，与说另一个东西表述它的全体，这是完全一样的。
然而Ｃ是一部分Ａ，而Ｂ同时整个地被包含于Ａ之中。
如果它整个地被包含，那么Ａ表述所有Ｃ。
然而Ｃ是Ｂ的一部分，因此，Ａ将表述某些Ｂ。“
…… 102
０９第三章 亚里士多德三段论系统
明在于一种知觉的证据。
①无论如何，这个被迈尔承认的解释，②是没有《前分析篇》本文的支持的。
亚里士多德并没有说过Ｃ是一个个体的词项。
况且，一个用知觉作的证明并不是逻辑证明。
如果我们要逻辑地证明前提“Ｂ属于有些Ａ”可以换位，而证明是借助于第三个词项Ｃ来进行的，我们就必须找到一个联结上述前提与含有Ｃ的命题的断定命题。
当然，简单地说，如果Ｂ属于有些Ａ，则Ｂ属于所有Ｃ并且Ａ属于所有Ｃ，是不真的；但稍微修改一下这个蕴涵式的后件就容易解决我们的问题。
我们必须在后件之前加上一个约束变项Ｃ的存在量词，“有一个”。
因为，如果Ｂ属于有些Ａ，这里总存在一个词项Ｃ，使得Ｂ属于所有Ｃ并且Ａ属于所有Ｃ。
Ｃ可以是Ａ和Ｂ的共同部分，或包括在这共同部分中的一个词项。
例如：如果有些希腊人是哲学家，这里就存在着词项“希腊人”与“哲学家”的共同部分，即“希腊哲学家”
，并且显然，所有希腊哲学家都是希腊人，而所有希腊哲学家也都是哲学家。
因此，我们可以陈述下列断定命题：（１）如果Ｂ属于有些Ａ，则有一个Ｃ使得Ｂ属于所有Ｃ
①亚历山大３２。
３２，“但是更好和更适宜的有关的显示法将表明，在这里证明的获得是通过感性知觉而获得的，而不是靠所说的式，也不是靠三段论。
显示法的式得之于感觉方面，而不是得之于三段论的方式。
某些人从感觉方面所取的Ｃ构成Ａ的一部分。
如果Ｂ表述可感觉的和单一的Ｃ，构成Ａ的一部分，并且Ｃ作为Ｂ的一部分也包含于其中，那么Ｃ就成为两者的一部分，并且包含于两者之中。“
②《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉａ，第２０页“所以论证不取决于一个三段论，而取决于明晰性的提示。”
…… 103
１９。显示法证明A １９
并且Ａ属于所有Ｃ。
这个断定命题是显然的。
而且（１）
的换位也同样是显然的。
如果有Ａ和Ｂ的共同部分，Ｂ必定属于有些Ａ。
因此，我们得到：（２）如果有一个Ｃ使得Ｂ属于所有Ｃ并且Ａ属于所有Ｃ，则Ｂ属于有些Ａ。
也许亚里士多德直观地感到这些断定命题的真，虽然他没有能够明显地加以塑述；并且尽管他没有看到所有导致这个结果的演绎的步骤，他却抓住了它们与Ⅰ前提换位的联系。
我将在这里作出Ⅰ前提换位的完全的形式证明，由断定命题（１）
与（２）开始，并对它们运用某些命题逻辑的定律和存在量词的规则。
亚里士多德一定知道下面的命题逻辑的断定命题：（３）如果ｐ并且ｑ，则ｑ并且ｐ。
这就是合取式的交换律。
①应用这条定律于前提“Ｂ属于所有Ｃ”以及“Ａ属于所有Ｃ”
，我们得到：（４）
如果Ｂ属于所有Ｃ并且Ａ属于所有Ｃ，则Ａ属于所有Ｃ并且Ｂ属于所有Ｃ。
我们应用存在量词规则于这条断定命题。
有两条这样的规则；两者都与有关的一个真蕴涵式相联系来陈述。
第一条规则读作：在一个真蕴涵式的后件之前允许加上一个存在量词，把出现于后件中的自由变项约束起来。
由此规则得到：（５）如果Ｂ属于所有Ｃ并且Ａ属于所有Ｃ，则有一个Ｃ
①① 见《数学原理》第１６页，断定命题P３。
２。
…… 104
２９第三章 亚里士多德三段论系统
使得Ａ属于所有Ｃ并且Ｂ属于所有Ｃ。
第二条规则读作：在一个真蕴涵式的前件之前允许加上一个存在量词，把出现在前件中的自由变项约束起来，只要它不在后件中作为自由变项出现。
在（５）
中，Ｃ已经在后件中约束起来了；因此，根据这条规则，我们可以在前件中约束Ｃ，从而得到公式�
小提示：按 回车 [Enter] 键 返回书目，按 ← 键 返回上一页， 按 → 键 进入下一页。
赞一下
添加书签加入书架