很明显，在亚里士多德逻辑中它们都是假的，并且应被排斥，因为我们不能把亚里士多德逻辑限制在一个有穷数的词项中，而（Ｆ４）
形式的表达式当词项数目是无穷时就被反驳了。
这个无穷数目的不可判定的表达式除非作为公理来排斥，否则是无法排斥的，这是从以下考虑得出的：（Ｆ３）不能被我们的公理和规则系统所反驳，所以必须作为公
…… 159
３０。斯卢派斯基的排斥规则A ７４１
理加以排斥。
其次，一个包含着五个不同词项的不可判定的表达式（Ｆ４）
，我们的公理和规则系统以及与已被排斥的表达式（Ｆ３）
一起也不能予以反驳，也必须作为公理加以排斥。
对每一个（Ｆ４）
形式的其它的不可判定的表达式都可以重复这样的论证。
因为不能作为公理排斥无穷数目的表达式，我们必须寻求另外的手段，如果我们想肯定地解决判定问题的话。
３０。斯卢派斯基的排斥规则A我从两个术语的说明开始：Ａａｂ，Ｉａｂ，Ｅａｂ，Ｏａｂ类型的表达式，我称为简单的表达式；头两个是简单肯定表达式，而三、四两个是简单否定表达式。
简单表达式以及这种类型的表达式：
Ｃα１Ｃα２Ｃα３…
Ｃαｎ１ＣαｎC（其中所有α都是简单表达式）
，我都称为初等表达式。
斯卢派斯基排斥规则可以借助于这个术语陈述如下：如果α和β都是简单否定表达式并且γ是一个初等表达式，那么，如果Ｃαγ与Ｃβγ都被排斥，则ＣαＣβγ必定也被排斥。
斯卢派斯基排斥规则与传统逻辑的下列元逻辑原则（ｍｅｔａｌｏ－ｇｉｃａｌ
ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ）
有密切联系：“ｕｔｒａｑｕｅ
ｓｉ
ｐｒａｅCｍｉｓａ
ｎｅｇｅｔ，ｎｉｌ
ｉｎｄｅ
ｓｅｑｕｅｔｕｒ。“
（如果两前提都是否定的，那么不能得出结论。）然而这个原则并不是十分普遍的，因为它仅仅涉及三个词项的简单三段论。
同一原则的另一公式，“ｅｘｍｅｒｅ
ｎｅｇａｔｉｖｉｓ
ｎｉｈｉｌ
ｓｅｑｕｉｔｕｒ，“
（“仅从否定前
…… 160
８４１第五章 判定问题
提不能得结论“）
，表面看来是更为普遍的，但是把它不仅用于三段论而且也用于三段论系统的其它表达式时，它却是假的。
像断定命题ＣＥａｂＥｂａ或ＣＥａｂＯａｂ这样的表达式明明表现出仅从否定前提可以得出某些东西。
斯卢派斯基规则是一条普遍规则，而且避免了传统公式的困难。
为了弄清楚斯卢派斯基规则，让我们更充分地解释这一点。
命题Ａａｃ不能从前提Ａａｂ或者从前提Ａｂｃ得出；但当我们联结这些前提成为“Ａａｂ并且Ａｂｃ”时，我们就从Ｂａｒｂａｒａ式得到结论Ａａｃ。
Ｅａｃ不能从Ｅｂｃ得出，也不能从Ａａｂ得出；但从这些前提的合取“Ｅｂｃ并且Ａａｂ”用Ｃｅｌａｒｅｎｔ式，我们就得到结论Ｅａｃ。
在这两个场合，我们都从前提的合取得到某个新的命题，这些新的命题是前提中的任何孤立的一个所不能得出的。
然而，如果我们有两个否定命题，像Ｅｃｂ与Ｅａｂ，当然我们能够从第一个得到结论Ｏｃｂ而从第二个得到结论Ｏａｂ，但是从这两个否定命题的合取，除了那些从它们各自孤立地得出的新命题外，不能得出任何新命题。
这就是斯卢派斯基排斥规则的意思：如果γ并不从α或从β得出，它也不能从α与β的合取式得出，因为从两个否定前提不能得出它们孤立地并未得出的任何东西。
斯卢派斯基规则是与传统逻辑的相应规则同样的浅显明白。
现在我将表明这个规则怎样能够应用于排斥不能判定的表达式。
为此目的，我把这规则用在符号的形式中。
用ＲＳ（Ｒｕｌｅ
ｏｆＳｌｕｐｅｃｋｉ）来表示它：ＲＳ。PＣαγ，PＣβγ，→PＣαＣβγ。
在这里犹如在任何地方一样，我用希腊字母表示满足某些条
…… 161
３０。斯卢派斯基的排斥规则A ９４１
件的变项表达式：这样，α和β必须是三段论系统的简单否定表达式，γ必须是一个象前面说明过的初等表达式，而且三个表达式必须使得Ｃαγ和Ｃβγ可以被排斥。
箭头（→）是“所以”的意思。
我想着重指出这个事实，即ＲＳ是一个特别的规则，只是对亚里士多德逻辑的否定表达式α和β才是正确的，并且，如我们已经看到的，它不能应用于三段论系统的肯定表达式。
它也不能应用于演绎理论。
这一点可从下面的例子得出：表达式ＣＮＣｐｑｒ与ＣＮＣｑｐｒ都不是真的，并且都应当被排斥（如果排斥已引入这个理论之中的话）
，但是ＣＮＣｐｑＣCＮＣｑｐｒ却是一个断定命题。
同样，在代数中，从前提“ａ不小于ｂ”或从前提“ｂ不小于ａ”都不能得出命题“ａ等于ｂ”
，但是它从这些前提的合取式中得出。
作为这条新规则的首次应用，我将表明已被作为公理排斥的表达式
P５９ａ。
ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ，现在能被反驳。
这一点来自以下的推导：
９。
ｐＥａｃ，ａｃ，ｂａ×７９＇ ＇ ＇７９。
ＣＥａｃＩｃａＣＥａｃＩａｃ
７９×ＣP８０－P６４P８０。
ＣＥａｃＩｃａP８０×P８１。
ｃａ，ｂｃ，ａｃ＇ P８１。
ＣＥｃｂＩａｃP６４×P８２。
ｂｃ＇ P８２。
ＣＥａｂＩａｃ
ＲＳ。
αＥｃｂ，βＥａｂ，γＩａｃ×P８１，P８２→P８３＇
…… 162
０５１第五章 判定问题
P８３。
ＣＥｃｂＣＥａｂＩａｃ。
ＲＳ规则在这里得到了第一次的应用；α和β是简单否定表达式，而γ也是一个简单表达式。
从P８３我们用输出律Ⅶ得出公式P５９ａ：Ⅶ。
ｐＥｃｂ，ｑＥａｂ，ｒＩａｂ×８４＇ ＇ ＇８４。
ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃＣＥｃｂＣＥａｂＩａｃ
８４×ＣP５９ａ－P８３P５９ａ。
ＣＫＥＣＢＥａｂＩａｃ从以上所述可知斯卢派斯基规则强于我们作为公理排斥的表达式P５９ａ。
由于P５９ａ应被消去，公式５９，即ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃP成了剩下的作为公理排斥的唯一的表达式。
其次我将应用ＲＳ规则再一次地反驳公式（Ｆ３）
：P６４×P８５。
ｄｃ，ｃａ＇ P８５。
ＣＥａｄＩｃｄP８５×P８６。
ｂａ＇ P８６。
ＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｄ，βＥｂｄ，γＩｃｄ×P８５，P８６→P８７＇ ＇ ＇ P８７。
ＣＥａｄＣＥｂｄＩｃｄP８０×P８８。
ｂａ，ｄａ＇ ＇ P８。
ＣＥｂｃＩｃｄ
ＲＳ。
αＥｂｃ，βＥｂｄ，γＩｃｄ×P８８，P８６→P８９＇ P８９。
ＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｄ，βＥｂｃ，γＣＥｂｄＩｃｄ×P８７，P８９→P９０＇ P９０。
ＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄP８８×P９１。
ａｂ＇
…… 163
３１。演绎的等值式A １５１
P９１。
ＣＥａｃＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｃ，βＥｂｄ，γＩｃｄ×P９１，P８６→P９２＇ P９２。
ＣＥａｃＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｃ，βＥｂｃ，γＣＥｂｄＩｃｄ×P９２，P８９→P９３＇ P９３。
ＣＥａｃＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｃ，βＥａｄ，γＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ×P９３，P９０＇→P９４P９４。
ＣＥａｃＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄP５×P９５，ｂｄ＇ P９５。
ＣＥａｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｂ，βＥｂｄ，γＩｃｄ×P９５，P８６→P９６＇ P９６。
ＣＥａｂＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｂ，βＥｂｃ，γＣＥｂｄＩｃｄ×P９６，P８９→P９７＇ P９７。
ＣＥａｂＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｂ，βＥａｄ，γＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ×P９７，P９０＇ ＇ ＇→P９８P９８。
ＣＥａｂＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｄ，βＥａｃ，γＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ×P９８，＇ ＇ ＇ P９４→P９９P９
ＣＥａｂＣＥａｃＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄＲＳ规则在这个推导中用了十次；α和β总是简单否定表达式，而γ在任何地方都是一个初等表达式。
用同样方式，我们能反驳（Ｆ４）
形式的其它公式，并且也能反驳第２８节的公式（Ｆ１）
，然而，没有必要进行这些推导，因为现在我们能够提出一般的判定问题。
…… 164
２５１第五章 判定问题
３１。演绎的等值式A对于我们的判定证明，我们需要演绎的或推论的等值式的概念。
我认为由于对待这个概念有着一些误解，因此，它的意义必须谨慎地定义。
我将在演绎理论的基础上来做到这一点。
通常说有两个表达式α和β，当其如果α被断定了，就可以从α推导出β，反之，如果β被断定了，就可以从β推导出α，我们就说α与β是彼此演绎地等值的。
推论的各种规则总假定为已给定的，但它们很少是充分的。
例如，它们在下面的例子中是充分的。
从断定的交换律ＣＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ，我们能推导出断定命题ＣｑＣｐＣｑｒＣｐｒ：（１）ＣＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ（１）ｐＣｐＣｑｒ，ｒＣｐｒ×Ｃ（１）—（２）
＇（２）ＣｑＣｐｃｑｒＣｐｒ，从这个断定命题我们能够再推导出交换律：（２）
ｑＣｑＣｐＣｑｒＣｐｒ，ｐｓ，ｒｔ×Ｃ（２）—（３）
＇（３）ＣＣｓＣｑＣｐＣｑｒＣｐｒｔＣｓｔ（２）ｑＣｐＣｑｒ，ｐｑ，ＴＣｐｒ×（４）
＇ ＇ ＇（４）ＣＣｐＣｑｒＣｑＣｐＣｑｒＣｐｒＣｑＣｐｒ（３）ｓＣｐＣｑｒ，ｔＣｑＣｐｒ×Ｃ（４）—（１）
＇（１）ＣＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ①
但是我们不能用这个简单方法从断定的表达式ＣＮｐＣｐｑ推
①① 这个简洁的推导是Ａ塔尔斯基在华沙提出的。
W
…… 165
３１。演绎的等值式A ３５１
导出邓斯司各脱定律ＣｐＣＮｐｑ，因为我们只能用代入规则从W第一个表达式推出新命题，而所有的ＣＮｐＣｐｑ的代入都是以ＣＮ开头的，没有一个是用Ｃｐ开头。
要从另外一个表达式推导出那些表达式中的一个来，我们必须要有进一步的支持。
一般地说，演绎等值式的关系少有是绝对的，而在大多数场合，它是与一些断定命题的某一个基础相关的。
在我们的场合，这个基础就是交换律。
从（５）ＣＮｐＣｐｑ开始，我们用交换律得到邓斯司各脱定律：W（１）ｐＮｐ，ｑｐ，ｒｑ×Ｃ（５）—（６）
＇（６）ＣｐＣＮｐｑ，并且从（６）开始，我们又用交换律再得到（５）
：（１）ｑＮｐ，ｒｑ×Ｃ（６）—（５）
＇（５）ＣＮｐＣｐｑ。
所以我说ＣＮｐＣｐｑ与ＣｐＣＮｐｑ就交换律而言是演绎地等值的，并且我写作：
ＣＮｐＣｐｑ～ＣｐＣＮｐｑ对（１）而言。
记号～表示演绎的等值式的关系。
这个关系不同于通常的等值关系（此处用Ｑ表示）。
通常的等值关系是用两个彼此互相换位的蕴涵式的合取式来定义的，
Ｑｐｑ＝ＫＣｐｑＣｑｐ，而不需要任何基础。
如果一个通常的等值关系Ｑαβ被断定了，并且α或α的一个替代者也被断定了，那么，我们就能断定β，或β的相应的替代者，并且，反之亦然。
所以，一个断定的通常的等值式Ｑαβ对于演绎的等值式α～β是一个充分
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４５１第五章 判定问题
的基础；但是它并非是必要的基础，这恰好就是需要说明之点。
不仅断定的或真的表达式而且假的表达式都可以是演绎地等值的。
为了解决对于Ｃ—Ｎ系统的判定问题，我们必须把一个任意的有意义的表达式α变形为表达式ＣＮαπ，π是一个不在α中出现的命题变项。
这可以借助于两条断定命题做到：Ｓ１。
ＣｐＣＮｐｑＳ２。
ＣＮｐ。
我说对Ｓ１与Ｓ２而言，α与ＣＮαπ是演绎地等值的，并且我写作：Ⅰ。
α～ＣＮαπ对Ｓ１与Ｓ２而言。
当α被断�