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通过1 000多年前的黑暗时代，我们已经看到了一丝光明，在这束光中，我们的两个符号合并成了一个——或者顽皮的零正领着我们走入歧途呢？
第二部分 灰尘第14节 零的形式上的变化（1）
历史不同于传奇之处在于它在一定程度上是真实的。创造零并猜测它以什么形式出现，这些想法是很冒险的，我们知道我们一直在做这样的冒险游戏；但是就像女王的钢琴家一样，我们也许与此同时极出色的完成了另外的一些事情。在通常意义上讲，我们了解到的所有东西都是这样的：不管零扩展数字王国的能力有多大，我们仍要将它当作一个数字本身来对待。零是从一个标点符号发展而来的，并长期保持了它的数字之外的属性，它不仅是一个数字还是一个字母。甚至在十二世纪的印度，卜哈斯卡瑞和他的弟子们仍把九个数字的诞生归功于仁慈的造物主；但是，同他的发明和位置系统不同的他使用这9个数字来表所有的数量，同时，零——是一个点呢还是一个小圆圈呢——放在没有数字的位置属于为了“消除错误”（就如32页所见）。对零，我们最常用的词是“空（null）”，来源于中世纪的拉丁语nulla figura，“没有数字”，而且，一个法国人在15世纪的著作中很好的表述了这种流行的观点：“就像破旧的玩具想成为鹰，驴想成为狮子，猴子想成为女王，零装摸做样地假扮成一个数字。”
在因果循环的过程中，一些因素使零不同于其他数字。每个数字都与特定的事物集合相联系，但是；零根本与任何事物无关。由此，它很容易与“变量”的符号及“变量”的概念联系起来。这种联系又加大了零与其他数字的区别。并且，我们可以注意到零经常来源于减法和负数存在的环境（这样卜哈斯卡瑞在所减的数字上画一个小圆圈也并不是偶然的）。任何五岁的孩子都会说负数根本不是数字，任何人都要花费一点的时间来认可负数。是因为否定比肯定更难以描述和掌握，才把零引入一种似是而非的危险境地的吗？让我们面对下面这个问题：减法的可逆性使得本身已经很困难的计算变得彻底令人迷惑不解。如果你曾受骗相信你有十一个手指，你就会明白这个问题（左手五个手指，并且往回算，10、9、8、7、6在右手上，所以6＋5=11）。然而没有减法的话，我们就不会有下面这个完美的谜语：4个人进了一个房间，7个人离开了。事先必须有多少人已经在这个空房间里面？答案是：3个。
零在加减法中的应用使它与其他数字所代表的实物之间的差距进一步增大了。这不仅仅是把计算筹码从一列中移开的后果，因为这些后果还不是很清楚。零像我们以前所看到的，比宾语更具有能动性，比名词更具有动词性。马哈韦日积极评价了这一点，他说‘零和与它相加的数变得一样’。
但是马哈韦日和我们所知道的一些印度数学家，经过六个世纪的时间，做了比给予零短期的热爱更重要的一些事。他们描述了零与其他数字一起时的表现，及数字间的相互作用。
这些描述采取控制数字间相互作用的定律形式出现。这些定律不仅使零与其他数字联系得更紧密，并建立了一个理想的数字王国，也许还会出现更新类型的数字王国，谁知道呢，但这是他们自己最好的成就。
获得数字王国公民权的要求是什么呢？考虑一下词汇和思想的处境。新的词汇总是象小狗一样在我们周围欢快的跑来跑去——一个月之内，人们用“弹道导弹”的速度来传播和使用它，下一个月就变成‘邮递的’速度了——但是几乎没有新词能在几年时间内一直得到广泛使用，而几乎更少的词汇能达到人们耳熟能详的程度，这一切都在于我们。而思想，伟大或者渺小：五十年前是人们的一种信仰，现在它在哪里呢？弗洛依德（Freudian）的喜爱与厌恶学说慢慢成为一切事物总的原则，但这种学说很快就分崩离析了，现在谁还谈到情结或把性欲作为景仰的对象？
但数字王国比语言或思想领域更为保守：瑞士（Swiss）不愿接受新的成员，一旦成为一员后，就不许离开。考虑到无理数，毕达哥拉斯学派罪恶秘密的暴漏动摇了希腊人对数字的信任。2 500年后，没有他们我们将不能做很多事情，虽然我们对它们之中存在的理性依然还有争论。喜欢冒险的数学家开始考虑到希罗和黛尔芬特斯时代的负数平方根。当方程的根是负数的平方根时，根叫虚根，并称方程无解。然后在文艺复兴时期，人们开始计算虚根。1673年伟大的思想家约翰·沃利斯说虚根是可以假设的，但他们和负数一样是不存在的；即使他们已经和实根分开，虚根仍带有和他们名字所表示的含义相同的标志。
数学特有的运动是：要成为数字必须与已经存在的数字相互联系，或至少与其他数字地位是一样的，所以我们必须明白如何用零加、减、乘、除，这正是印度数学家所做的。代替了一系列杂乱的要素。当计算方法发展成为一种著名的理论时，零和其他数字相互联系建立起来了。
这些变化慢慢地发生，并经常隐藏在一些将过时的用法中。所以，公元600年卜日马古普塔简洁地说出，一方面零的相反数仍是零；另一方面，谈到零与数字的加法时，他总结到：‘零与负数相加仍是负数；与正数相加是正数；两个零相加是零’（从1817年以来，这种解释保留了卜日马古普塔的一些缺点，即描述同一事物的不同的词之间缺乏距离）。他更关注于写出减法的规则：
零减去负数得到正数；减去正数得到负数；负数减去零仍是负数；正数减去零是正数；零减零是零。
这就象音乐家必须知道G是C调的属音，C是F调的属音，A是D调的属音等，却从不注意属音总是音阶的第五音。
数学家们总是追求完美。五个世纪后，卜哈斯卡瑞以完美而简洁的语言重新表述了卜日马古普塔的论述：“加上或减去零，正数和负数的值保持不变，但是被零减去之后，正数和负数变成他们的相反数”。他在36岁时写了一本书《魅力女孩》（Charming Girl ，Lilavati）以及这一定律——可能因为它充满以下这样的问题：
美丽可爱的女孩，她的眼睛象古罗马神话中的农牧神！如果你擅长乘法，请告诉我135乘以12是多少？
他们没有再写过那样的数学书。
马哈韦日在大概介于这两者之间的中间领域，取得了很多成就。830年左右，考虑到零在与其他数字发生作用时保持不变（这并不很好的符合耆那教的逻辑法则 ，在那里他们的实质与表现没有区别？）。他也继续说“一个数字乘以零是零，那个数字将保持不变当它……减去一个零的时候。”卜日马古普塔在前，卜哈斯卡瑞在后都同意以上观点。
但我遗漏了一个问题，在这三个方面他们的观点严重不一样：正数、负数、零除以零。我们自己有多么确定这个问题答案是什么吗，并且是为什么呢？马哈韦日说：“一个数除以零这个数保持不变”。他的翻译极力解释这个错误，他说马哈韦日显然是认为除以零与根本不做除法是一样的。我认为，因为乘法可以看作流线型的加法（5×4可以看作5个4相加），可能他将除法看作流线型的减法（20÷5等于将5从20中减去4次）。假如这样的话，当除以零时可以看作将零从这一数字中减去，结果仍是这个数。这种类似性也可能让他陷入将0从20中减去多少次这一问题。但是就象你所见到的，减法中的可逆性掩盖了这一想法。
卜日马古普塔是很谨慎的：
正数或负数，除以零，即，是一个以零为分母的分数＇他将这称作“khacheda”，来自表示零的单词“kha”＇。零除以正数或负数是零或可以表达为一个以零为分子以有限数为分母的分数……零除以零是零……
对于 来说他是完全正确的，a是一个正数或负数；并说（就象他开始所做的） 仅仅是将一种概念从一种类型转变为另一种类型，但并不能得到结果。但 仅仅是一种结果而且是错误的。
现在看看卜哈斯卡瑞的结论，卜哈斯卡瑞的说法与卜日马古普塔的是非常相似的，他说：“一个数，被零除则成为一个以零为分母的分数。”但他继续说：
这个分数被定义为一个无穷数＇“khahara”与卜日马古普塔所说的“khacheda”是同意词＇。尽管可能要加上或减去许多数，但这个数以零为除数的情况是不变的；就象当世界被创造或毁灭时，无数的生物产生或消亡，但无穷和永恒的上帝是不变的。
这重要的一章——以一种使人联想起婆罗门的词汇来描述 ——引起了评论家们极大的注意。在16世纪末，评论家中的一员，试图用日晷仪（日晷仪指示某地太阳时间的一种仪器，通过一个中心突出指针在围绕刻有标准刻度的日晷上的阴影来指示时间——译者注）获得的图案来解释卜哈斯卡瑞的意思。他说，在日出和日落时，日晷指针的影子总是无限长的，无论日晷的半径和指针的高度是多少，情况总是如此。
你可能经常听人们说 =∞，但确实如此吗？这种假设的等式意味着什么？ =4是有意义的，因为它是数字之间的一个等式，这一点在《魅力女孩》中可能已经告诉你了。但无穷大不是一个数（就象孩子们认为的将拉丁文Infinitus est numerus stultorum翻译成：无穷大是蠢人的数字，它甚至不是一个蠢人想出来的数。）那么，我们把 假定为什么呢？这个答案将告诉你很多关于数学的技巧。
第二部分 灰尘第15节 零的形式上的变化（2）
认为所有的数字都是一样的，这样的想法极其不合常理。例如经验告诉我们6不是17，（不管是不是经验，我们思想中的这些区别看来是本来所固有的）。但假如数字可以除以零，那么所有的数字都会变成相同的。为什么？印度数学家能告诉我们：所有的数乘以零是零，所以，6·0=0，17·0=0，由此可见，6·0=17·0。如果可以用数字除以零，就可以得到 ，零可以约去，所以6=17。他们是不相等的，所以数字除以零是不合理的， 毫无意义。
这种反证法从古希腊就开始应用了。为什么需要它的时候没有一个印度数学家使用它呢？确实，一部分原因是因为证明就象艺术作品一样并不按我们的命令出现，而是来源于尚未完全弄清楚的人类的洞察力；还因为印度数学家的风格，他们赞成原理却不去证明他们；另外也许是因为说一些事物毫无意义几乎等于说你不知道它是什么意思。一个阿拉伯旅行家这样评价他遇到的印度人：
……他们讨厌用坦率的话语“我不知道”，公开承认他们的无知，无论什么情况之下，这句话对他们来说都是困难的。
另一方面，印度人将这个阿拉伯旅行家说成：“尖酸得醋与他相比都变甜了”。
不仅仅印度人继续他们关于零的其他运算（卜哈斯卡瑞正确的宣称，02＝0和 ）将计算扩展到无理数的范畴之后，例如 ，仅简单通过声明无理数可以象整数一样考虑。在巴卡沙里的手稿中，制定了任何种类数字计算的规则，所以卜哈斯卡瑞可以问：“听着，博学的先生们！告诉我‘乘以五’减去1的结果和‘乘以3’加上2结果相乘，结果是多少，或者可以叫做（5x…1）（3x＋2）是多少？
当不考虑虚数（甚至不考虑正数的负根——人们并不赞成卜哈斯卡瑞有民主精神的说法），卜哈斯卡瑞可以得出如下等式：
给人印象更深的是，他可以解这些方程：也是对于这一点，从内心深处汲取力量是一回事，而让这种力量随叫随到则是另一回事。
你所看到的是一种正在形成中的数学和几何语言，这种语言的发展有着意义深远的结果。数字间存在令人不舒服的差距，他们代表不同的事物。当焦点从数字间的差距上转移之后，零所表示的范围也不会缩小。这些行为表现在方程中——方程的解，即，使等式成立的未知数的数值。可能是零，也完全可能是其他的一些数字。因为x的未知解可以是任何一种数字，所以这意味着零和其他数字的差距进一步缩小了。但从公元500年到1 500年间的几个世纪，零的形式转变是这样的：一种更为抽象的结构代替了人们思想中固有的、一些数学家的说法。因为定数有许多名称，它们的关系也都很容易记忆。现在这些名词都必须简化为写出来的符号。这样使得数字立刻具体起来，对没有基础的人更难以使用。因为它们简化了它们所代表的事物，但也可以让你说出一些以前没有想到的事。x2＋2x…22=0表示把面积（x2）；长度（3x）和22（常数）放在一个句子中。这是很难以想象的。但现在你可以很容易的写出x4＋3x…22=0并解这一等式。但是如何描述x4所代表的量度呢？难怪麦寥麦斯百瑞的威廉说这是危险的撒拉逊人的魔术。
数字符号的神秘使这种称呼具有吸引力，并强化符号超自然力的特征及权威。但是在数字神殿中还有更重要的一些事情。像零一样，数字都变得看不见摸不着了：不再是物体的描述物而是纯粹的物体本身。“三（Three）”一度像“小（small）”：它可以修饰鞋、船或密封蜡。但它现在已经与这些在很短时期内与它相联系的乱七八糟的事情离得很远。数字获得了自己的形容词：正、负、自然的（整数或计算数字的官方说法），有理的（来源于‘理性’一词，因为这些是分数），实的（有理的和无理的），并且在一定时期这些形容词也会变成名词（有理数、实数）。数字在计算过程中改变形态并证明自己的存在，对这一点来说形容数的词汇也变成表面现象了。我们所看到、所感觉到的一切包括数字的起因及影响。他们是位置保持者�