《四库全书总目提要》

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四库全书总目提要- 第323部分


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卷,则徽之《重差》既自为卷,因遂讹刘徽为刘向,而一书三出耳。今详为考证,定为刘徽之书,至《海岛》之名虽古无所见,不过后人因卷首以《海岛》之表设问而改斯名,然唐选举志称算学生《九章》、《海岛》共限习三年,试《九章》三条,《海岛》一条,则改题《海岛》自唐初已然矣。其书世无传本,惟散见《永乐大典》中。今裒而辑之,仍为一卷。篇帙无多,而古法具在,固宜与《九章算术》同为表章,以见算数家源流之所自焉。
  △《五曹算经》·五卷(永乐大典本)
  案《隋书·经籍志》有《九章六曹算经》一卷,而无五曹之目,其六曹篇题亦不传。《唐书·艺文志》始有甄鸾《五曹算经》五卷,韩延《五曹算经》五卷,李淳风注五曹、孙子等算经二十卷,鲁靖新集《五曹时要术》三卷。甄、韩二家,皆注是书者也,其作者则不知为谁。考《汉书·梅福传》,福上书言,臣闻齐桓之时,有以九九见者。颜师古注云,九九算术,若今《九章五曹》之辈。盖算学虽多,不出乘除二者,而乘除不出自一至九,因而九之之数,故举九九为言,而师古即以其时所有《九章五曹》等书实之,非梅福时有是书也。朱彝尊《曝书亭集》有《五曹算经跋》云,相传其法出於孙武,然彝尊第曰相传,无所引证,益不足据。观《唐书·选举志》称,《孙子》、《五曹》共限一岁,既曰共限,则《五曹》不出《孙子》明矣。姑断以甄鸾之注,则其书确在北齐前耳。自元、明以来,久无刻本,藏书家传写讹舛,殆不可通。今散见《永乐大典》内者,甄鸾、韩延、李淳风之注虽亦散佚,而经文则逐条完善。谨参互考校,俾还旧观,遂为绝无仅有之善本。考夏侯阳《算经》引田曹、仓曹者二,引金曹者一,而此书皆无其文。然此书首尾完具,胍络通贯,不似有所亡佚。疑《隋志》之《九章六曹》,其目亦同阳所引田曹、仓曹、金曹等名,乃别为一书,而非此书之文。故不敢据以补入,以溷其真焉。
  △《夏侯阳算经》·三卷(永乐大典本)
  案《隋·经籍志》有夏侯阳《算经》二卷,《唐·艺文志》列夏侯阳《算经》一卷,而直斋《书录解题》载元丰京监本乃云三卷,盖传宜互有分合,故卷帙各异,然皆不言阳为何代人。考《唐志》载是书为甄鸾注,则当在甄鸾之前。而此本载阳自序有云,《五曹》、《孙子》述作滋多,甄鸾、刘徽为之详释。书内又称宋元嘉二年徐受重铸铜斛,至梁大同元年甄鸾校之,则又似在甄鸾后。其辩度量衡云,在京诸司及诸州各给称尺、并五尺度、斗、升、合等样,皆铜为之。仓库令诸量函所在官造,大者五斛,中者三斛,小者一斛,以铁为缘,勘平印书,然后给用。又《课租庸调章》称,赋役令论步数,不等章称杂令由令之属,亦皆据隋制言之,尤不可解。疑传其学者又有所窜乱附益,不尽阳之旧义矣。《唐书·选举志》所列算经十种,此居其一。盖当时本悬之令甲、肄习考课。今传本久佚,惟《永乐大典》内有之。然诸条割裂,分附《九章算术》各类之下,几於治丝而棼,猝不得其端绪。幸尚载原序在目,犹可以寻绎编次,条贯其文。今衰辑排比,仍依元丰监本,厘为三卷。其十有二门,亦从原目。其法务切实用,虽《九章》古法,非官曹民事所必需,亦略而不载。于诸算经中最为简要,且於古今制度异同尤足考证云。
  △《五经算术》·二卷(永乐大典本)
  北周甄鸾撰,唐李淳风注。鸾精於步算,仕北周为司隶校尉、汉中郡守。尝释《周髀》等算经,不闻其有是书。而《隋书·经籍志》有《五经算术》一卷,《五经算术录遗》一卷,皆不著撰人姓名。《唐·艺文志》则有李淳风注《五经算术》二卷,亦不言其书为谁所撰。今考是书,举《尚书》、《孝经》、《诗》、《易》、《论语》、《三礼》、《春秋》之待算方明者列之,而推算之术悉加甄鸾案三字於上,则是书当即鸾所撰。又考淳风当贞观初奉诏与算学博士梁述、助教王真儒等刊定算经,立於学官。《唐·选举志》暨《百官志》并列《五经算》为算经十书之一,与《周髀》共限一年习肄,及试士各举一条为问,此书注端悉有臣淳风等谨案字。然则唐时算科之《五经算》即是书矣。是书世无传本,惟散见於《永乐大典》中,虽割裂失次,尚属完书。据淳风注,於《尚书》推定闰条自言其解释之例,则知造端於此。又如《论语》千乘之国,周官盖弓宇曲并用开方之术,详於前而略於后。循其义例,以各经之叙推之,其旧第尚可以考见。谨依《唐·艺文志》所载之数,厘为上、下二卷,其中采摭经史,多唐以前旧本。
  如引司马彪《志序论》十二律各统一月,当月者各自为宫,今本《后汉志》统讹作终,月讹作日。革木之声,今志讹作草木。阳下生阴,阴下生阳,始於黄钟,终於仲吕,今志脱始於黄钟四字。律为寸,於准为尺,律为分,於准为寸,下文承准寸言不盈者十之所得为分,今志脱律为分於准为寸二句。《礼记义疏》引志脱误亦然。又两引上生不得过黄钟之浊,下生不得及黄钟之清,申之日,是则上生不得过九寸,下生不得减四寸五分,与蔡邕《月令章句》谓黄钟少宫管长四寸五分合。且足证中央土律中黄钟之宫乃黄钟清律,不得溷同於仲冬月律中黄钟为最长之浊律。《吕氏春秋》,先制黄钟之宫,次制十有二筒,亦黄钟有清律之证。
  今志作上生不得过黄钟之清浊,下生不得及黄钟之数,实因清字讹衍在上,后人改窜其下,揆诸律法,遂不可通。盖是书不特为算家所不废,实足以发明经史,核订疑义,於考证之学尤为有功焉。
  △《张邱建算经》·三卷(吏部侍郎王杰家藏本)
  原本不题撰人时代。《唐志》载张邱建《算经》一卷,甄鸾注,则当在甄鸾之前。书首邱建自序引及夏侯阳、孙子之术,则当在夏侯阳之后也。《隋志》载此书作二卷。《唐志》一卷,甄鸾注外,别有李淳风注张邱建《算经》三卷。郑樵《通志·艺文略》,张邱建《算经》二卷,又三卷,李淳风注。《宋·艺文志》、《中兴书目》亦俱作三卷,则析为三卷自淳风始。此本乃毛晋汲古阁影抄宋椠,云得之太仓王氏。首题汉中郡守前司隶甄鸾注经,朝议大夫行太史令上轻车都尉李淳风等奉敕注释,算学博士刘孝孙撰细草。盖犹北宋时秘书监赵彦若等校定刊行之本。其中称术曰者,乃鸾所注。草曰者,孝孙所增。其细字夹注称臣淳风等谨案者,不过十数处。盖有疑则释,非节节为之注也。其书体例皆设为问答,以参校而申明之,凡一百条。简奥古质,颇类《九章》,与近术不同。而条理精密,实能深究古人之意,故唐代颁之算学,以为颛业。今详加校勘,其上卷起自乘除之数,至第十二问为勾股测望,十三问为勾股和较,十四问为重勾股颠倒测望,十五问为卧勾股左右进退测望,此四问皆藉图以明,旧本所无,今特依义补入。
  自十六问以下皆取差分、和较、均输参杂为目,间附以方圆幂积。至中卷之第六问,乃入商功,后复及贵贱、差分、倍半、衰分、方田诸术。惟弧矢一问原本不完,未可以他术增补,姑仍其阙。下卷首问失题,又细草下亦脱二十余字,以有后文可据,谨为补足。其鹿垣仓三条,亦各为之图,系诸原问之左,俾学者得以考见其端委焉。
  △《缉古算经》·一卷(吏部侍郎王杰家藏本)
  唐王孝通撰。其结衔称通直郎太史丞。其始末未详。惟《旧唐书·律历志》“戊寅历”条下有武德九年校历人算历博士臣王孝通题,盖即其人也。是书一名《缉古算术》,《唐书·艺文志》、《崇文总目》俱称李淳风注。今案此本卷首实题孝通撰并注,则《唐志》及《总目》为误。又《宋志》作一卷,《唐志》、郑樵《艺文略》俱作四卷,王应麟《玉海》谓今亡其三。案《孝通原表》称二十术,检勘书内条目相同,并无阙佚,不知应麟何所据而云然也。书中大旨,以《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,其於上宽下狭窄,前高后卑,阙而不论,世人多不达其理。因于平地之余,续狭斜之法。凡推朔夜半时月之所离者一术,推仰观台及羡道高广袤者一术,推筑堤授工上下广及高袤不同者一术,推筑龙尾堤者一术,推穿河授工斜正袤上广及深并漘上广不同者一术,推四郡输粟窖上下广袤馀郡别出入及窖深广者一术,推亭仓上下方高者一术,推刍薨、圆囤者各一术,推方仓圆窖对待者五术,推勾股边积互求者六术,共合二十术之数。中间每以人户道里,大小远近,及材物之轻重,工作之时日,乘除进退,参伍以得其法。
  颇不以深浅为次第,故读者或不能骤通。而卒篇以后,由源竟委,端绪足寻,洵为思极毫芒,曲尽事理。唐代明算立学,习此书者以三年为限,亦知其术之精妙,非旦夕所克竟其义矣。其书世罕流播,此乃宋元丰七年秘书监赵彦若等校定刊行旧本,常熟毛扆得之章邱李氏,而影抄传之者。今详加勘正,其文间有脱阙,不敢妄补。谨撮取其义,别加图说,附诸本文之左,以便观览云。
  △《数学九章》·十八卷(永乐大典本)
  宋秦九韶撰。九韶始末未详。惟据原序自称其籍曰鲁郡。然序题淳祐七年,鲁郡已久入於元。九韶盖署其祖贯,未详实为何许人也。是书分为九类。一曰大衍,以奇零求总数为九类之纲。二曰天时,以步气朔晷影及五星伏见。三曰田域,以推方圆幂积。四曰测望,以推高深广远。五曰赋役,以均租税力役。六曰钱穀,以权轻重出入。七曰营建,以度土功。八曰军旅,以定行阵。九曰市易,以治交易。虽以《九章》为名,而与古《九章》门目迥别,盖古法设其术,九韶则别其用耳。宋代诸儒,尚虚谈而薄实用。数虽圣门六艺之一,亦鄙之不言,即有谈数学者,亦不过推衍河洛之奇偶,於人事无关。故乐屡争而不决,历亦每变而愈舛,岂非算术不明,惟凭臆断之故欤?数百年中,惟沈括究心是事,而自《梦溪笔谈》以外,未有成书。九韶当宋末造,独崛起而明绝学。其中如大衍类蓍卦发微,欲以新术改《周易揲蓍》之法,殊乖古义。古历会稽题数既误,且为设问以明大衍之理,初不计前后多少之历过,尤非实据。天时类缀术推星,本非方程法,而术曰方程,复於草中多设一数以合方程行列,更为牵合。所载皆平气平朔,凡晷影长短,五星迟疾,皆设数加减,不过得其大概,较今之定气定朔,用三角形推算者,亦为未密。然自秦、汉以来,成法相传,未有言其立法之意者。惟此书大衍术中所载立天元一法,能举立法之意而言之。其用虽仅一端,而以零数推总数,足以尽奇偶和较之变,至为精妙。苟得其意而用之,凡诸法所不能得者,皆随所用而无不通。后元郭守敬用之於弧矢,李冶用之於勾股方圆,欧逻巴新法易其名曰借根方,用之於九章八线,其源实开自九韶,亦可谓有功於算术者矣。至於田域、测望、赋役、钱穀、营建、军旅、市易七类、皆扩充古法,取事命题,虽条目纷纭,曲折往复,不免瑕瑜互见,而其精确者居多,今即《永乐大典》所载,於其误者正之,疏者辨之,颠倒者次第之,各加案语於下。庶得失不掩,俾算家有所稽考焉。
  △《测圆海镜》·十二卷(编修李潢家藏本)
  元李冶撰。冶字镜斋,栾城人。金末登进士,入元官翰林学士。事迹具《元史》本传。其书以勾股容圆为题,自圆心圆外纵横取之,得大小十五形,皆无奇零。次列识别杂记数百条,以穷其理。次设问一百七十则,以尽其用。探赜索隐,参伍错综,虽习其法者,不能骤解。而其草则多言立天元一。按立天元一法见於宋秦九韶《九章大衍数》中,厥后《授时草》及《四元玉鉴》等书皆屡见之,而此书言之独详,其关乎数学者甚大。然自元以来,畴人皆株守立成,习而不察。
  至明,遂无知其法者。故唐顺之与顾应祥书,谓立天元一,漫不省为何语。顾应祥演是书为分类释术,其自序亦云立天元一无下手之术,则是书虽存,而其传已泯矣。明万历中,利玛窦与徐光启、李之藻等译为《同文算指》诸书,於古《九章》皆有辨订,独於立天元一法阙而不言。徐光启於《勾股义序》中引此书,又谓欲说其义而未遑。是此书已为利玛窦所见,而犹未得其解也。迨我国家,醲化翔洽,梯航鳞萃,欧逻巴人始以借根方法进呈,圣祖仁皇帝授蒙养斋诸臣习之。
  梅瑴成乃悟即古立天元一法,於《赤水遗珍》中详解之。且载西名阿尔热巴拉(案:原本作阿尔热巴达,谨据西洋借根法改正),即华言东来法。知即冶之遗书流入西域,又转而还入中原也。今用以勘验西法,一一吻合,瑴成所说,信而有徵。特录存之,以为算法之秘钥。且以见中法西法互相发明,无容设畛域之见焉。
  △《测圆海镜分类释术》·十卷(浙江范懋柱家天一阁藏本)
  明顾应祥撰。应祥有《人代纪要》,已著录。李冶《测圆海镜》所设一百七十问中,皆有草有法。(案:前数十题中甚易者,或无草,后皆有草。)草用立天元一为虚数,合问数推之法,专用问数推之,皆归於带纵诸乘方而止。应祥得冶书於唐顺之,於立天元一语互相推求,不得其解,遂去其细草,专演算法,改为是书。自谓便於下学。殊不知立天元一之妙,能使诸法不能求者可以得其法;若无其草,即冶已有不能得其法者。而徒沾沾於加减开方之数,可谓循枝叶而失本根者矣。唐顺之与应祥书云,此书形下之数太详,而形上之义或略,使观之者尚不免其数可陈而义难知,有与人以鸳鸯枕而不度人以金针之疑。仆意欲明公於紧要处提掇一二作法源头出来,使后世为数学者识其大者得其义,识其小者得其数,则此书尤更觉精采耳。其

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