择，因而影响到博弈结果的最终形成。
任一互动的群体都存在一定的公共知识。在公共知识一定的情况下经过一段时间，群体达到了均衡。此时若公共知识发生改变，群体的均衡便发生改变。
上述分析有些抽象，读起来令人乏味，现在让我们来看看具体例子中的公共知识情况。通过这些例子，读者就能明白什么是公共知识、明白公共知识如何影响到群体的均衡，熟悉了公共知识的概念，读者就可以用它来分析身边的社会现象。
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一个寓言——村庄里的大屠杀
在一个偏僻的山里，有一个村庄。这里是女人掌权，女人对一切事务说了算。村里有100对夫妇。
在这个村里已经形成了约定俗成的规定。如果女人发现自己的丈夫对自己不忠的话，就会毫不犹豫地将他杀死，而且就在当天执行。当然，她必须有确切的证据来证明她丈夫不忠。由于这个因素，某个女人发现某个男人不忠，她不会将之告诉那个不忠男人的妻子。但是，她会告诉其他人的妻子，并且女人们会相互传递这一信息，因此，一个男人不忠，除了其妻子不知道外，其他女人都知道。
而事实上是，村子里的这100对夫妇的男人都不忠，但由于女人不会将她知道的事实告诉不忠男人的妻子，每个女人都不知道自己的男人不忠。因此，该村子一直很稳定，而没有发生妻子杀死丈夫的行为。
村子里有一个辈份很高的老太太，她德高望重，诚实可敬。每个人都向她汇报村里的情况，因此她对村里的情况了如指掌，她知道这个村子里的所有男人都不忠，当然，其他女人不知道她所知道的东西。
一天，这位老人对这100个女人说了一句很平常的话：“你们的男人当中至少有一个是不忠的。”于是，村里发生了这样一个事情：前99天，村里风平浪静，但到了第100天，村里发生了一场大屠杀，所有的女人都杀死了她们的丈夫。
故事就是这样的。
为什么会这样？
这是一个推理和行动的过程。如果她的丈夫不忠的话，她就杀死他；如果没有证据证明她的丈夫不忠的话，她便相信他，不杀死他。
如果村里只有一个男人是不忠的话，在老太太作了宣布之后的第一天，这个男人的妻子在老太太宣布之后马上就能知道。因为，她会作这样一个推理：如果其他男人不忠的话，她应当事先知道，既然其他99个男人都没有不忠，并且至少有一个男人不忠，那么这个不忠的男人必定就是她的丈夫。因此，村里如果只有一个男人不忠的话，老太太宣布之后，当天这个男人就会被其妻子杀死。
如果村里有两个男人不忠，那么，这两个男人的妻子在老太太做了宣布的第一天都不会怀疑到自己的丈夫，因为这两个妻子的每一个知道另外一个女人的丈夫不忠。但是，当第一天过后她没有发现那个不忠诚的男人被杀死，那么她会想，必定有两个男人是不忠的，否则她知道的那个不忠的男人会被他的妻子当天杀死的。既然有两个男人不忠，但这两个不忠的男人的妻子想，她只知道一个，那么另一个不忠的男人必定是她的丈夫！
……
这个村子里的100个男人不忠，那么，上面这样推理会继续到99天。就是说，前99天每个女人都没怀疑到自己的丈夫，而当第100天的时候，每个女人都确定地推理出她的丈夫不忠，于是村子里便发生了一场大屠杀，所有的男人都被他们的妻子杀死。
推理就是这样进行的。
这里，在老太太宣布“至少一个男人是不忠的”这样一个事实时，每个女人其实都知道这个事实（她们也知道村子里的规则），似乎是，老太太对这个事实的宣布并没有增加这些女人的知识——关于村里男人不忠行为的知识。但为什么老太太的宣布使得村里的女人产生了对她们丈夫的屠杀行为呢？这是因为，老太太的宣布使得这个群体里的女人的知识结构发生了变化：“至少一个男人是不忠的”在老太太做宣布之前是每个女人的知识，宣布之后仍然是她们的知识，但它在老太太宣布之前不是公共知识，老太太的宣布使得它成为公共知识。
如何理解这种变化？设想一下，假定共有3个女人A、B、C，那么在未宣布之前，A想：由于自己不知道自己的丈夫不忠，其他两个女人B、C也同样不知道，那么A想B不知道C是否知道“至少有一个男人是不忠的”。而当老太太宣布了“至少一个男人是不忠的”之后，“至少一个男人是不忠的”便成了A、B、C之间的公共知识。
在这个100人组成的小村里，老太太的宣布使得“至少一个男人是不忠的”成了公共知识。于是，推理与行动便开始了。这是大屠杀的原因！
。。
帽子：红色的还是白色的？
与上述故事相同结构的一个事例是“帽子的颜色问题”。在“帽子的颜色问题”中，同样是公共知识不断公布，推理不断进行的过程。
有一群人围坐在一起，为了便于分析，我们假定有4人（人数为其他数字，可作同样分析）。这4个人每人头戴一顶帽子，帽子为红色和白色两种中的一种。每个人看不到自己帽子的颜色，但能看到别人帽子的颜色。因此，每个人不能看到自己头上的帽子的颜色。
一个局外人来到他们的群体当中，对他们说：“你们其中至少一位头戴的是红色的帽子。”当他说了这句话后，他问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人都说“不知道”；这个局外人第二次问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人又都说“不知道”。局外人第三次问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人又说“不知道”。局外人又问第四次：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”这时4个人均说：“知道了！”
你能知道，他们中有几个人戴红色的帽子？几个人戴白色的帽子？
答案是，4个人都戴红色的帽子。你知道为什么吗？
当局外人未宣布“至少一个人戴的是红帽子”时，这个事实其实每个人都知道了，因为每个人看到其他3个人的帽子都是红色的。但这个事实在局外人未做宣布之前尽管是这4个人的知识，但不是他们的公共知识。而当这个局外人做了宣布了之后，“至少一个人帽子是红色的”便成了公共知识。此时不仅每个人知道“至少一个人的帽子是红色的”这个事实，每个人知道其他人知道这个事实……
如果只有1个人戴红色的帽子，那么，当局外人第一次问时，这个人因面对3个戴白色的帽子、必定知道自己的帽子颜色，他必定会回答“知道”。因此，当4个人第一次均回答“不知道”时意味着，4人中“至少有2人戴的是红色的帽子”，而且这也成了新的公共知识。
当局外人第二次问时，因为上述推理，如果只有2人戴的是红色的帽子，这2人就会回答说“知道”——因为他们各自面对的是1个戴红色帽子的人，这戴红色帽子的2个人马上知道自己戴的是红色的帽子。因此，局外人第二次问他们而他们回答“不知道”，此时，意味着，4人中“至少3个人戴红色的帽子”，并且它也成了该群体新的公共知识。
同样，当局外人第三次问时，他们回答的“不知道”，意味着4个人均戴的是红色的帽子。此时，他们每个人都知道他们头上都戴着红色的帽子，并且这也是公共知识。
因此，当局外人第四次问时，他们4个人马上说“知道”。
在这个过程中，当局外人首先宣布“其中至少一个人的帽子是红色的”，以及每次的回答（无论是回答“知道”还是“不知道”）构成该群体新的公共知识——构成所有人推理的前提。
这就是“帽子的颜色问题”。本人将这个问题简化了。原来的问题是这样的：有一个游戏，有一个主持人和戴着两种颜色帽子的一群人（假定有n人），每个人的帽子的颜色或者是红色或者是白色，但这n个人不能看到自己的帽子的颜色却看得到其他人的帽子的颜色。游戏的主持人说：“你们中至少一个人的帽子是红色的。”主持人开始一次次地问：“你们知道不知道自己的帽子的颜色？”现在的问题是：当主持人问到第几次时，才有人说“知道”？并且多少人说“知道”？
据说，这个问题在20世纪曾风靡欧美。
皇帝新装的新解读
我们都熟悉安徒生的童话《皇帝的新装》。
从前，一个皇帝爱穿漂亮的衣裳。有两个骗子对皇帝说，他们能做出世界上最漂亮的衣服，这衣服不仅华丽，而且穿上它后能知道谁是愚蠢的人，因为愚蠢的人是看不见这衣服的。皇帝相信骗子的话，给了骗子许多金子，让骗子开始织布。两个骗子在织机旁煞有其事地忙碌着。皇帝派他的宠臣去看看工作的进度，然而他们惊呆了：天啊，我什么也看不见！他们想，难道我是愚蠢的人？我不胜任自己现有的权位？这是多么可怕的事啊！但好在其他人不知道。于是他们装着看见的样子，称赞布料是多么多么的漂亮，骗子向他们描述布料的色彩和图样，他们点头称是。回去后，他们将骗子的话汇报给皇帝。皇帝亲自来看衣服制作的进度，他也同样被眼前的情景惊呆了，因为他什么也没看见！他当然看不见，因为确实什么也没有。皇帝也怀疑自己是愚蠢的人，但他想，千万不能让别人知道我看不见布，千万不能让我的臣民知道我是愚蠢的人，于是他也同样夸赞起布来。
全城庆典的那天，骗子装模作样地赶制好了衣服，皇帝脱掉了他原来的衣服，骗子做出给皇帝穿衣服的样子。当骗子给皇帝穿好所谓的“新衣服”后，皇帝步出宫殿，向他的臣民致意。皇帝在大街上被他的臣子们簇拥着行走，什么也没穿。他的臣民们都看着没穿衣服的皇帝，然而他们怕别人知道自己是愚蠢的人，不敢承认自己没有看到皇帝没有穿衣服。
这时，一个小孩突然说：“其实皇帝什么也没穿啊！”这一声无疑是晴天霹雳。老百姓开始议论纷纷，私下传着这个天真无邪的小孩的话，人们开始相信小孩说的话是对的。皇帝也知道了老百姓们的窃窃私语，他想老百姓的话可能是对的，但他没办法就此回头，他坚持把*进行下去，他硬着头皮高傲地向前走去。
在这个童话中，骗子们所谓的皇帝的新衣服其实什么也没有，每个人都没有看到皇帝的新衣服，或者说，每个人所看到的是皇帝没有穿衣服。但每个人都不相信自己所看到的是事实——“看到”和“相信”是两回事。对每个人来说，“皇帝什么都没穿”没有构成他们的知识，当然更不是他们之间的“公共知识”。
这里有一个虚假信念在误导着他们：如果我没看见皇帝的新衣服意味着我是愚蠢的。因此，每个人尽量地不让其他人了解自己没看见皇帝的新装。尽管每个人都没有看到皇帝的“新衣服”，每个人包括皇帝在内，都在说着假话，硬说自己看见了新衣服。每个人都在谎言下生活。这就是一个均衡，一个大家都“说谎的均衡”。
小孩说出“其实皇帝什么也没穿”后，小孩的话传到每个人那里，“其实皇帝什么也没穿”便成各个人的知识，自然也成了公共知识。原来的均衡打破了。
安徒生的这个童话里让小孩子说出真话有他的用意，小孩子是真诚的，不受错误的世俗观念污染的。说真话的小孩使人们所看到的东西成为知识，同时成为公共知识。
“教—学”均衡的公共知识条件——教育的公共知识结构分析
我们不一定做过教师，但生活于现代社会的我们必定做过学生。
我们离不开教师。我们上小学，教师教我们识字、教加减乘除；我们上中学，教师教我们几何、代数；我们上大学，教师教我们未来生存的专业知识。当然，在任何时候，教师教我们做人的道理。“师者，传道，授业，解惑也。”
如果我们对学生—教师的知识结构作一分析，我们会发现，教育有着特别的知识结构。
教育有什么样的结构？对于教师，教师知道他或她应该知道某些知识，学生知道他们的教师知道他们想学的知识，教师也知道学生知道他或她拥有某些知识。即：教师知道某些要求的知识是公共知识。我们用K1p表示“教师知道某些学科的知识”。1代表教师，K代表知道，p代表学科的知识。K1p为公共知识。
同时，学生不知道教师知道的学科性知识，学生对这些知识的无知也成为公共知识。即：教师知道学生对这些知识的无知，成为学生和教师间的公共知识，同时也是全社会的公共知识。我们用~K2p表示“学生不知道某个学科的知识”。2代表学生，p代表学科知识，~K表示不知道。~K2p也是公共知识。
K1p和~K2p不仅是教师和学生间的公共知识，同时也是社会的公共知识。因此，之所以教师站在讲台上，处于“教”或“传授”的位置，而学生坐在课桌前处于“学”或“聆听”的位置，就是因为有这样的公共知识存在。“教—学”或“讲授—聆听”构成一博弈均衡。如果没有这样的知识构成，“教—学”或“讲授—聆听”的均衡便不会形成。
这样的均衡何时会打破呢？
我们说，既然“教—学”的均衡依赖于公共知识K1p和~K2p ，一旦这样的知识构成被打破，“教—学”之间的关系将被终结。这里有两种可能情况：第一，K1p不是公共知识。或者因为教师不具有这些知识，或者教师具有这些知识但没有成为公共知识，“教—学”的均衡不能形成，这个教师便不能站在讲台上。第二，通过一段时间的学习，教师将知识教给了学生，学生也知道了教师讲授的东西，学生将离开该课堂，此时“教—学”均衡也被打破了。
当然，要注意的是，K1p和~K2p为公共知识，只是“教—学”均衡形成的必要条件，而非充分条件。
诸葛亮、周瑜的掌中之“火”
《三国演义》描写了这样的故事：曹操