当然，要注意的是，K1p和~K2p为公共知识，只是“教—学”均衡形成的必要条件，而非充分条件。
诸葛亮、周瑜的掌中之“火”
《三国演义》描写了这样的故事：曹操带领大军进攻东吴，诸葛亮来到东吴，劝说东吴与刘备一起抵抗曹操大军。吴军都督周瑜向诸葛亮请教如何破曹操的百万大军。周瑜说，我昨天察看曹操水寨，极为严整、有章法，不是一般人所能够攻破的。我想了一个计策，不知道是否可行，请先生为我决策。孔明则说：都督暂不要说，我们各自写在手上，看一看是否一样。
瑜大喜，教取笔砚来，先自暗写了，却送与孔明；孔明亦暗写了，两人移近坐榻，各出掌中之字互相观看，皆大笑。原来周瑜掌中字，乃一“火”字；孔明掌中亦一“火”字。瑜曰：“既我两人所见相同，更无疑矣。幸勿漏泄。”
在诸葛亮和周瑜未在掌中写出“火”字之前，或者尽管他们在掌中写出“火”字但没有互相观看之前，火攻曹操为一个致胜的妙计是他们两个人所知道的，但不是公共知识。因为周瑜不知道诸葛亮知道这个策略。此时很有可能的是，诸葛亮知道周瑜知道这个策略，但周瑜以为诸葛亮不知道他知道这个策略。而当两人在手中写出“火”字，并“互相观看”之后，这个策略可以取胜为他们的公共知识。
诸葛亮与周瑜将“火”字写在掌中，并互相观看，这样的行为使他们的知识结构发生变化。在这个过程，知识结构发生变化的群体只有诸葛亮和周瑜两个人，而无其他人，“诸将皆不知其事”。如果其他（尤其是曹操）知道火攻为诸葛亮和周瑜之间的公共知识，那么火攻策略便不能战胜曹操，赤壁一战便会出现另外的结果。知识的分布关系到战争的成败。
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将军的困境与公共知识形成悖论
我们在生活中经常见到某些场合下，两个人为某件事情会心一笑，此时两人达到了默契。如果用公共知识的概念来解释，就是说两人都知道了某些知识，而且他们知道对方知道自己知道了该事情……即该事情是他们的公共知识。他们不通过言语使某个公共知识得以形成。
两个默契的双方不用语言就可形成某个公共知识，而在有些时候，即使用语言多次传递某个信息，该信息也难以成为公共知识。我们来看一看著名的“协同攻击难题”中公共知识是如何难以形成的。
两个将军各带领自己的部队埋伏在相距一定距离的两个山上，等候敌人。将军A得到可靠情报说，敌人刚刚到达，立足未稳。如果敌人没有防备，两股部队一起进攻的话，就能够获得胜利；而如果只有一方进攻的话，进攻方将失败。这是两位将军都知道的。A遇到了一个难题：如何与将军B协同进攻？那时没有电话之类的通讯工具，而只有通过派情报员来传递消息。将军A派遣一个情报员去了将军B那里，告诉将军B：敌人没有防备，两军于黎明一起进攻。然而可能发生的情况是，情报员失踪或者被敌人抓获。即：将军A虽然派遣情报员向将军B传达“黎明一起进攻”的信息，但他不能确定将军B是否收到他的信息。事实上，情报员回来了。将军A又陷入了迷茫：将军B怎么知道情报员肯定回来了？将军B如果不能肯定情报员回来的话，他必定不会贸然进攻的。于是将军A又将该情报员派遣到B地。然而，他不能保证这次情报员肯定到了将军B那里……
这就是著名的协同攻击难题（coordinated attack problem），它是由格莱（）于1978年第一次提出。糟糕的是，有学者证明，不论这个情报员来回成功地跑多少次，都不能使两个将军一起进攻。9
在协同攻击难题中，两个将军协同进攻的条件是：“于黎明一起进攻”是将军A、B之间的公共知识，然而，无论情报员跑多少次，都不能够使A、B之间形成这个公共知识！如果你是这两位将军中的一个，你有什么办法？
在这个难题中，一个新的公共知识形成的悖论出现了：公共知识是群体中的人们进行交流、协作的必要前提，实际中我们确实能够进行交流协作，但从逻辑上一个新的公共知识无法形成。这样就形成一个悖论。
这个悖论类似于阿基里斯追不上乌龟的芝诺悖论。从逻辑上，跑得很快的阿基里斯永远追不上跑得很慢的乌龟：他要追上乌龟必须要经过乌龟出发的地方A；但当他跑到这个地方的时候；乌龟又向前爬了一段距离、到达了新的一点； 阿基里斯要追上乌龟必须跑到这新的一点；但当他追到该点时候；乌龟又爬走了……因此，阿基里斯永远也追不上乌龟。而事实上，阿基里斯能够追上乌龟，只要他的速度快于乌龟。这是我们不容置疑的常识。理论与事实发生矛盾。
交流与公共知识的形成
若我们假定交流者的言语行为是同时的，即听和说之间不存在延时；并且假定听和说者都是真诚的，那么说者表达出来的知识立即成为听和说者之间的公共知识。
不同的认知主体的认知结构一样即均分为信念、怀疑、无知世界，认知世界里的元素往往因认知主体的不同而不同。
如，信仰亚里士多德物理学的科学家和信仰哥白尼学说的科学家之间的不同在于，前者所相信的命题“太阳围绕地球转”在后者那里则属于怀疑世界里。任何一个主体的认知世界随认知的变化而变化，通过言语交流是获得新的认知的一种方式。
言语博弈如何改变群体的认知世界呢？通过辩论——证明与反驳，对话者能够改变对方的信念，当然也可以改变自己的信念。辩论能够使认知世界里的元素发生变化，但这不是必然的。如：“地心说”的信奉者和“日心说”的信奉者都能够给出支持它们信念的证据，然而这些证据不能对他们的信念提供决定性的证明。通过辩论而使信念发生改变的逻辑过程和心理过程是重要的研究课题。
如果某个命题是某一个群体中所有都知道的，该语句能够被表达吗？该命题能够被表达。因为所有人都知道该命题，不表明表达者知道他人知道该命题，不表明他知道他人知道他知道该命题……何时才会发生某人不说某句话呢？这个条件是：该真命题是群体的公共知识！
在《关于知识的推理》中作者说诙谐地说，“公共知识”是傻瓜知道的知识，而“隐含知识”是聪明人才知道的知识。公共知识是大家知道、大家都知道大家知道……的知识。既然四傻瓜都知道的知识，那么，它有表达的必要吗？
因此，我们这里得出一个群体存在“听…说”的条件：某个命题得以表达的条件是，它不是一个群体的公共知识。
这个条件表明，所表达的必定不是群体的公共知识，但不被表达的一定是公共知识吗？不一定。比如，一个群体都无知的东西是无法进行表达的。
一个群体的认知结构通过交流发生变化，即公共知识发生增加。这个过程当然会达到一个极限，这个极限便是：任何新的表达都只能是公共知识，此时群体的任何言语都无认知意义。若交流仅限于认知，这个群体此时边归于沉默。
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“独裁的”妻子
先看一个幽默。同事经常与一有“妻管严”的丈夫开玩笑，同事逗他：“你家里谁拿主意？”“妻管严”笑着说：“一半一半。”同事问他：“一半一半是什么意思？”他说：“当意见不一致的时候听老婆的，当意见一致的时候听我的。”众人哈哈大笑。
在这个笑话中，当丈夫和妻子意见一致时妻子听丈夫的，不一致的时候他听妻子的，这时候丈夫的权力是一半吗？显然，这时候丈夫不能作出任何主张，我们说，他的权力为0。妻子是这个家庭的“*者”。
在家庭中，这个妻子是温柔的“*者”，而丈夫是幸福的“被统治者”。但是如果在一个社会中，*者未必是温柔的，而被统治的臣民也未必是幸福的。而*者之所以被称为*者是因为他拥有绝对的权力。
权力体现在决策之中。在许多事情上我们都是*者，因为我们在这些事情上能够有绝对的决策权力。当然，这些事情所涉及的当事人是我们自己，而不是他人，我们与那些主宰他人命运的政治上的*者有本质的区别。
在生活中你要作出许多决策，能作出决策构成你的权力。比如，当你有一笔钱的时候，你对它有足够的使用权力：你可以用它去买股票，你可以将之存在银行，也可以买房产，等等。
当你决定去投资股票的时候，你面对的是几百种股票，你怎么选择呢？你当然要分析这些股票所属的行业，是传统行业还是高科技行业。你要看现在股价的高低，看它们每股收益多少，是赢利还是亏损——股价与每股收益之比为市盈率，即你要看市盈率是多少。你还要看流通股数量有多少。当然还要看有没有炒作题材，有没有庄家在坐庄，等等。此时，无论你是股海畅游的老手，还是偶尔在股海边忐忑不安、想一试身手的新手，你的收益——赢还是赔，赢多少还是赔多少，完全取决于你的选择：买哪种股票，买多少，什么时候买，什么时候卖，等等。
你有权决定买股票，你有权决定买什么股票，你有权决定将它们卖掉。每种选择下，你都自己承受你自己作出的决定的结果，这是你进入股票市场的前提。在计划经济下，没有股票市场，即使你有钱，你也无法作出买股票的选择。你没有选择的自由，你也没有选择的快乐和痛苦，你当然也不必承担选择的结果，因为没有结果。
作为一个普通公民，你对股票可以选择买和卖，而且有绝对的或完全的选择权。但是你对决定你单位的领导、对决定省市及国家的领导人有多大的权力呢？显然，你没有绝对的决定权（尽管可能拥有部分的决定权）。
在*制度下，人民对自己的命运也有一定的选择权，但许多权力掌握在*者手中，更不用说对国家的重大决策了。*者可以对任何人的命运说“死”或“生”，你如果要得出与*者作出的决定相反的结果，那么只有一条路，那就是造反。公元前209年陈胜、吴广作为屯长，带领900人充军渔阳，因大雨道路不通，无法按规定时间到达，而逾期当斩。陈胜、吴广商议：“今亡亦死，举大计亦死，等死，死国可乎？”逃亡也是死，起义也是死，同样都是死，为国家反抗*死不是值得吗？造反也是一种表达方式，它是人民在迫不得已的情况下对*表达不同看法的方式。
在*制度下，人们可以表达自己的想法，可以参与决策；可以*地选择他们的领导人。当然并不是说，*制度下每件重大事情的决策都采取*的方式，因为*选举上去的领导人可以是*的，但如果可以*地将*者选举下去，这才是真正的*选举结构。选举只是按*决策机制进行的全民决策问题，像东帝汶1998年通过“全民公决”，以确定留在印尼还是独立，是另一种全民性的*决策议题。*的决策程序是所有人均能表达自己的看法的程序。
在私人事务的决策中我们能够有绝对的权力，而在选举等群体决策中，我们的权力有多大呢？
一个国家的权力分配故事与班扎夫权力指数（1）
有一个国家，名叫Saha国，该国有六个按地理的自然疆域划分的省份，它们是Alice，Bline，Cinda，Duhe，Eho，Frida。10该国实行代议制*政治，所有立法决策由这些省份的代表来实施。由于这些地区的人口数量不同，它们按人口分配了不同比例的票数。票数分配为：Alice：10，Bline：9，Cinda：7，Duhe：3，Eho：1，Frida：1。总票数为31张。
该国的法律规定：如果一项议案拥有半数以上的票数即获得通过。即：如果一项议案获得31票中的16票或16票以上，那么就获得通过。总统选举也一样，如果在两位候选人之间进行选举，那么谁获得16张或以上的票即当选。
该国这样的政治体制运行了很多年，一直良好地进行着。但是Duhe，Eho和Frida的人民总觉得有点问题。于是他们请来了法律专家班扎夫（Ⅲ）来分析一下该国的政治体制。通过分析，班扎夫发现，尽管Duhe，Eho和Frida分别有3票、1票和1票，但实际上，这三个省份在表决时，在任何情况下都不起作用！
他们向总统反映了这个情况，要求总统提请修改票数分配的议案。总统不明白：“这是怎么一回事？”
班扎夫向总统解释说：“每个决策者在决策时的权力体现在他能够作为‘关键加入者’出现在获胜联盟中。如果决策者作为‘关键加入者’出现的次数多，那么他的权力大；反之则小。我们可以把一个决策者作为‘关键加入者’在获胜联盟中出现的次数称之为‘权力指数’。”
班扎夫接着说：“在贵国的政治体制中，Alice，Bline，Cinda三个省份垄断了所有的权力，而Duhe，Eho，Frida三个省份在现有的体制下，不是任何获胜联盟的‘关键加入者’。即Duhe，Eho，Frida三个省份的权力指数为0。”
“什么是获胜联盟？什么是‘关键加入者’？能不能举个例子？”总统问。
班扎夫举例说：“比如联盟‘Alice…Bline’就是一个获胜联盟，它们两者加起来的票数为19张，大于16张，因此，‘Alice…Bline’就是一个获胜联盟。在这个获胜联盟中，Alice和Bline都是不可缺少的，因此，Alice与Bline均是获胜联盟‘Alice…Bline’的关键加入者。”
“‘Alice…Bline…Duho’也是一个获胜联盟，但是Duho不是关键加入者，是不是？那我明白了。你能不能帮我具体算一下各个省份现有的权力指数？”总统说。
“可以。贵国现有的决策体制可以标记为（16；10，9，7，3，1，1）。前面的16为一个获胜联盟至少要获得的票数，或者说一个提案获得通过至少需要的票数。后面的数字为各个地区被分配的票数。”班扎夫说：“这个投票体制的权力指数情