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在这种情况下，去建立一套命题的模态逻辑就毫无意义了。
但是，所以用符号的形式来表达包含在公式“如果ｐ是真的，那末，ｐ是可能的”中的思想，我们只须以表达式“ａ是被断定的”代换“ｐ是真的”一语就行了。
这两个表达式并不表示同样的涵义。
我们可以提出办法，使不仅在考察真命题，而且在考察假命题时，不会出现错误。
但是，去断定一个非真的命题，总是一个错误。
所以，如果我们想表达ｐ事实上是真的这个思想，而说“ｐ是真的”那是不充分的：ｐ可能是假的，而“ｐ是真的”与它同假。
我们必须说：“ａ是被断定的”
，将“ｐ”换成“ａ”
，因为ｐ作为一个替代变项不能被断定，而“ａ”
却可以解释为一个真命题。
现在我们可以陈述出不是一个定理，而是一个规则：（ｘ）α—→Ｌα。
它的语言表达式就是：“α，所以，α是必然的”。
“箭头”
表示“所以”
，而公式（ｘ）是推论的规则，它只有当α被断定的时候才有效，这样一个局限于“重言式”命题的规则已为现代某些逻辑学家所接受。
…… 228
６１２第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
从规则（ｘ）和被断定的同一性原则Ｆｘｘ就推出被断定的必然公式ＬＦｘ，这公式正如我们已经看到的那样，会导致一个困难的结果。
这个规则看来是值得怀疑的，即使只限于将它运用于逻辑定理或者分析命题。
没有这种限制，正如从亚里士多德提供的例子中所表明的那样，规则（ｘ）将产生那些仅仅事实上为真的必然性断定，而这是一个与直观相矛盾的结果。
由于这个原因，亚里士多德的这一原则完全配得上誖论之称。
４５。亚里士多德的偶然性A我已经提到过，亚里士多德使用的‘δ∈óμ∈一词M F L F J F有两重意义。
在《解释篇》中，有时也在《前分析篇》中，这一词与δαó一词同义，但有时它又有另一个更为复杂的涵F E义。
我将和大卫罗斯爵士一样，将它译为“偶然性”。
②指出这W两重涵义应归功于Ａ贝克尔③。
W亚里士多德关于偶然性的定义是这样说的：“‘偶然的’意思，我是指那不是必然的东西，但设想它的存在也并不包含任何不可能”
④。
我们立刻可以看到，亚历山大关于可能性
①例如：参阅冯莱特：《论模态逻辑》（Ａｎ
Ｅｓａｙ
ｉｎ
Ｍｏｄａｌ
Ｌｏｇｉｃ）
，W阿姆斯特丹，１９５１，第１４—１５页。
②Ｗ。
Ｄ。罗斯所编《前分析篇》，第２９６页。
③参阅Ａ贝克尔，《亚里士多德的可能性推论的学说》（ＤｉｅＡｒｉｓｔｏｔｅｌｉｓｃｈｅWＴｈｅｏｒｉｅｄｅｒＭｏZｇｌｉｃｈｋｅｉｔｓｃｈｌüｓｅ）
，柏林，１９３年。
我同意大卫罗斯的意见，见C W所编《前分析篇》的序言，贝克尔的书“非常深刻”
，但是我不同意贝克尔的结论。
④《前分析篇》，ｉ。
１３，３２ｎ１８。
①
…… 229
４５。亚里士多德的偶然性A ７１２
的定义是从亚里士多德关于偶然性的定义，通过省去“那不是必然的东西”
这句话而得出的。
因此，如果我们将这句话的符号表达式加到我们的公式２８中，并且用“Ｔ”表示这个新的函子，那末我们就得出下述定义：４６。
ＱＴｐＫＮＬｐｑＣｐｑＮＬＮｑ。
‘这个定义可以简化，因为ｑＣｐｑＮＬＮｑ与ＮＬＮｐ等值。
蕴涵‘式３９。
ＣＮＬＮｐｑＣｐｑＮＬＮｑ‘已经证明过了；逆换的蕴涵式４７。
ＣｑＣｐｑＮＬＮｑＮＬＮｐ‘可以从命题ＣｑＣｐｑＮＬＮｑＣｐｑＮＬＮｑ通过替代ｐｑ，交换＇ ‘法，Ｃｐｐ和分离法很容易地就能得出。
在４６式中以更为简单的表达式ＮＬＮｐ代替ｑＣｐｑＮＬＮｑ，我们得出：‘４８。
ＱＴｐＫＮＬｐＮＬＮｐ。
这个公式在语言上表示：“ｐ是偶然的——当且仅当——ｐ不是必然的并且非ｐ不是必然的”。
由于短语“非ｐ不是必然的”
与“ｐ不是不可能的”
表示同一意思，我们可以简略地说：“某个东西是偶然的；当且仅当它不是必然的而又不是不可能的”。
亚历山大更简短地说：“偶然的是既非必然也非不可能的”。
①如果我们按照我们的定义Ｉ，将ＮＬＮｐ变形为Ｍｐ，而将ＮＬｐ变形为ＭＮｐ，我们就得出另一个Ｔｐ的定义：４９。
ＱＴｐＫＭＮｐＭｐ或５０。
ＱＴｐＫＭｐＭＮｐ。
①例如：参阅冯莱特：《论模态逻辑》（Ａｎ
Ｅｓａｙ
ｉｎ
Ｍｏｄａｌ
Ｌｏｇｉｃ）
，W阿姆斯特丹，１９５１，第１４—１５页。
…… 230
８１２第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
公式５０读作：“ｐ是偶然的——当且仅当——ｐ是可能的，并且非ｐ也是可能的”。
它将偶然性定义为“双重可能性”
，即定义为一种确实是这样也可以不是这样的可能性。
我们将看到这个定义与亚里士多德关于偶然性的其它断定在一起，其结果就会引起一个新的重大困难。
亚里士多德在关于未来偶然事件的一次著名讨论中，企图为非决定论的观点辩护。
他假定那些不是恒常出现的东西，具有存在或不存在的相同的可能性。
例如这件长袍可以被剪成一片片，但同样也可能不被剪碎①。
同样地一场海战可能在明天发生，也同样可能不发生。
他说，“关于这类事件的两个互相矛盾的命题中，必须有一个是真的，而另一个是假的，但是不能确定是这一个还是那一个，只能说总有一个可能碰巧出现，其中一个比另一个更为真一些，但任何一个都不能在那个时候就已确定是真的或是假的”。
②
这些论证，虽然没有十分清楚地表达出来，或者考虑得尚不够十分深透，却包含了一个重要的并且极为丰富的思想。
让我们举海战为例，并且假定关于这场海战今天什么也没有决定。
我的意思是指今天既没有那种真实存在的并且能引起明天发生一场海战的东西，也没有任何能引起明天不发生一场海战的东西，因此，如果说，真理在于思想符合于现实，那末，“明天将发生海战”这个命题在今天既不真也不假。
我正是在这个意义上理解亚里士多德的“现在既不真也不假”这
①《解释篇》９，１９ａ９。
②同上９，１９ａ３６。
…… 231
４５。亚里士多德的偶然性A ９１２
句话。
但是这将导致一个结果：明天将有一场海战就今天来看既不是必然的，也不是不可能的，换句话说，“可能明天将有一场海战”和“可能明天将没有一场海战”这两个命题就今天来看都是真的，而这个未来的事件是偶然的。
从上面的叙述得出：按照亚里士多德的意见，存在着真的偶然命题，也就是说公式Ｔｐ和它的等式ＫＭｐＭＮｐ对于ｐ的某些值（如说α）是真的。
例如，如果α表示“明天将有一场海战”那末亚里士多德就会断定Ｍα和ＭＮα两个都是真的，这样他就要断定合取式：（Ａ）ＫＭαＭＮα但是，在借助于变项函子δ而扩充的古典命题演算中，存在着下述由列斯涅夫斯基所提出的原始命题演算系统（ｐｒｏｔｏｔｈｅｔCｉｃ）的断定命题：５１。
ＫＭαＭＮα用语言表达就是：“如果δ属于ｐ，那末，如果δ属于非ｐ，δ就属于ｑ”
，或者，简而言之：“如果某个东西对于命题ｐ是真的，并且对于ｐ的否定也是真的，那末，它对于任一命题ｑ是真的”。
命题５１根据输入律和输出律ＣＣｐＣｑｒＣＫｐｑｒ和ＣＣＫCｐｑｒＣｐＣｑｒ与５２。
ＣＫδｐδＮｐｑ等值。
从（Ａ）和５２式我们得出结果：５２。
δＭ，ｐα，ｑｐ×Ｃ（Ａ）——（Ｂ）
＇ ＇ ＇（Ｂ）Ｍｐ。
这就是，如果我们断定了任何一个偶然命题为真，那末，我们就不得不承认另外某个表述可能的命题。
但是，这就要引起
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０２２第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
模态逻辑的破坏，由此Ｍｐ必须被排斥，从而ＫＭαＭＮα不能被断定。
我们现在就将结束我们对亚里士多德命题的模态逻辑的分析。
这种分析使我们遇到两个巨大的困难：第一个困难是与亚里士多德承认有真的必然命题相联系，第二个困难是与他承认有真的偶然命题相联系。
两个困难都将在亚里士多德的模态三段论中重新出现：第一个困难重现在具有一个实然前提和一个必然前提的三段论理论中；第二个困难重现在他的偶然三段论的理论中。
如果我们希望克服这些困难，并解释和评价他的模态三段论，我们必须首先建立一个可靠的并且前后一贯的模态逻辑系统。
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第七章 模态逻辑系统
４６。真值表方法A为了充分了解在本章中所阐述的模态逻辑系统，必须熟悉真值表方法。
这个方法可以运用于一切逻辑系统，在这些系统中会出现真值函项，即出现这样的函项，它的真值仅仅依赖于它们的主目的真值。
古典命题演算是一个二值系统，它假定了两个真值：“真”
（用１表示）和“假”
（用０表示）。
按照麦加拉的菲罗的意见，一个蕴涵式总是真的，除非它是以真起始而以假结尾。
这用符号表示就是：Ｃ１＝Ｃ０１＝Ｃ０＝１，而只有Ｃ１０＝０。
显然，真命题的否定是假的（即Ｎ１＝０）
，而假命题的否定则是真的，（即Ｎ０＝１）。
这些符号等式常借助于“真值表”
（或称为“矩阵”）来表示。
Ｃ和Ｎ的二值真值表Ｍ１可以描述如下：Ｃ的真值排列成横行和纵栏而形成一个正方形，并且为左边和上端的直线所分开。
第一个主目的真值放在正方形的左边，第二个主目的真值放在正方形的上端，而Ｃ的真值可以在正方形中找到，在这个正方形中，能够想象到的、从正方形的边沿的各真值划起的许多直线彼此交叉看。
Ｎ的真值表则是容易了解的。
…… 234
２２第七章 模态逻辑系统
借助于这个真值表，古典命题演算，即Ｃ—Ｎ—ｐ演算中的任何表达式都可以机械地加以验证，即当它被断定时加以证明，和被排斥时加以否证。
它满足于这样的目的，将值１和值０去代替变项的一切可能的结合时，如果每一种结合按照真值表所规定的等式最后导至１，那末，这个表达式就是被证明的；如果不是这样，它就是被否证的。
例如，ＣｐｑＣＮｐＮｑ根据Ｍ１而被否证，因为当Ｐ＝０和ｑ＝１时，我们有：Ｃ０１ＣＮ０Ｎ１＝Ｃ１Ｃ１０＝Ｃ１０＝０。
相反，我们的Ｃ—Ｎ—ｐ系统的公理之一ＣｐＣＮｐｑ①根据Ｍ１而得到证明，因为我们有：当ｐ＝１，ｑ＝１：Ｃ１ＣＮ１＝Ｃ１Ｃ０１＝Ｃ１＝１，当ｐ＝１，ｑ＝０：Ｃ１ＣＮ１０＝Ｃ１Ｃ０＝Ｃ１＝１，当ｐ＝０，ｑ＝１：Ｃ０ＣＮ０１＝Ｃ０Ｃ１＝Ｃ０１＝１，当ｐ＝０，ｑ＝０：Ｃ０ＣＮ０＝Ｃ０Ｃ１０＝Ｃ０＝１。
用同样的方法我们可以验证Ｃ—Ｎ—ｐ系统另外两个公理ＣｐｑＣｑｒＣｐｒ和ＣＣＮｐ。
因为Ｍ１是这样构成的：关于断定的表达式的替代规则和分离规则永远产生１的这种特性是有传递性的，Ｃ—Ｎ—ｐ系统中的所有断定的公式都能用真值表
①参阅第１０页。
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４６。真值表方法A ３２
Ｍ１加以证明。
同样，因为关于被排斥的表达式的推论规则不经常产生１的这种特性是有传递性的，如果ｐ按照公理是被排斥的，那末，Ｃ—Ｎ—ｐ系统中的所有被排斥的公式都能用Ｍ１加以否证。
一个真值表能验证一个系统中所有的公式，即证明被断定的公式和否证被排斥的公式，这个真值表对这个系统来说，称之为“足够的”。
Ｍ１是古典的命题演算一个“足够的”真值表。
Ｍ１对Ｃ—Ｎ—ｐ系统来说不是唯一足够的真值表。
我们通过Ｍ１和自身“相乘”
而得出另一个足够的真值表Ｍ３。
得出Ｍ３的过程可以描述如下：首先，我们形成１和０的有序对偶值，即：（１，１）
，（１，０）
，（０，１）
，（０、０）
，它们是新真值表的元素。
其次，我们借助下述等式决定Ｃ和Ｎ的真值：（ｙ）Ｃ（ａ，ｂ）
（ｃ，ｄ）＝（Ｃａｃ，Ｃｂｄ）
，（２）Ｎ（ａ，ｂ）＝（Ｎａ，Ｎｂ）。
然后，我们按照这些等式建立真值表Ｍ２，最后，通过简化式：（１，１）＝１，（１，０）＝２，（０，１）＝