（ｃ，ｄ）＝（Ｃａｃ，Ｃｂｄ）
，（２）Ｎ（ａ，ｂ）＝（Ｎａ，Ｎｂ）。
然后，我们按照这些等式建立真值表Ｍ２，最后，通过简化式：（１，１）＝１，（１，０）＝２，（０，１）＝３和（０，０）＝０而将Ｍ２改变为Ｍ３。
…… 236
４２２第七章 模态逻辑系统
Ｍ３中的符号１仍旧标志真，而０仍旧标志假。
新的符号２和３可以解释为真和假的补充记号。
这通过将其中之一（究竟是哪一个这没有关系）等同于１，而另一个等同于０就可以看出来。
请看Ｍ４，那里２＝１，而３＝０。
Ｍ４的第二行和第一行相同，而第四行与第三行相同；同样，Ｍ４的第二栏和第一栏相同，而第四栏与第三栏相同。
消除中间多余的各行和各栏，我们就得出Ｍ１。
用同样的方式我们从Ｍ５得出Ｍ１，那里２＝０和３＝１。
Ｍ３是一个四值的真值表。
Ｍ３乘以Ｍ１，我们得出一个八值的真值表，继续乘以Ｍ１，就得出十六值真值表，并且一般
…… 237
４７。
Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统A ５２
地说，得出一个２ｎ值的真值表。
所有这些真值表对Ｃ—Ｎ—ｐ系统来说都是足够的，并且如果我们通过导入变项函子的方式去扩充系统的话，对它继续是足够的。
４７。
Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统A我们已经遇到两个带有变项函子δ的断定命题：扩展原则ＣＱｐｑＣδｐδｑ和断定命题ＣδｐＣδＮｐδｑ。
由于后一断定命题是我们模态逻辑系统的一个公理，这就有必要对借助于δ而扩充的Ｃ—Ｎ—ｐ系统给以充分的解释，这个扩充了的系统，我们跟随麦雷狄士称之为Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统。
这样做更有必要，是因为对带有δ的系统，甚至一些逻辑学家也几乎是完全无知的。
将变项函子引入命题逻辑，应当归功于波兰逻辑学家列斯涅夫斯基。
通过修改他的关于变项函子的替代规则，我就能得出简易而良好的证明①。
首先须要解释一下这个规则。
我用δ标志一个带有一个命题主目的变项函子，并且断定：如果ｐ是一个有意义的表达式，那末，δｐ就是一个有意义的表达式。
我们考察一下，带有一个变项函子的、最简单的、有意义的表达式，即δｐ的涵义是什么。
一个变项是一个被看作关于一定值域的单个的字母，这些值可以用来替代这个字母。
替代就意味着实际地书写它的
①参阅杨卢卡西维茨：《论命题主目的变项函子》（Ｏｎ
Ｖａｒｉａｂｌｅ
ＦｕｎｃW Cｔｏｒｓ
ｏｆ
ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ
Ａｒｇｕｍｅｎｔｓ）
，载《爱尔兰皇家科学院院刊》，都柏林，１９５１年，５４Ａ２。
…… 238
６２２第七章 模态逻辑系统
一个值去代替这个变项，同一变项的每一次出现都用同样的值去代替。
在Ｃ—Ｎ—ｐ系统中，命题变项（如ｐ或ｑ）的值域是由这个系统中所有有意义的命题的表达式所组成的。
除此以外，还可以导入两个常项：１和０，即一个恒真命题和一个恒假命题。
那末，什么是函子变项δ的值域呢？
很明显，我们可以将任何一值去代替δ，只要这个值与ｐ一起能提供一个在我们系统中有意义的表达式。
不仅带一个命题主目的常函子（例如Ｎ）是如此，就是与带一个主目的函子起相同作用的复合表达式也是如此（例如Ｃｑ或ＣＮｐ）。
通过替代δＣｑ，我们从δｐ得出表达式Ｃｑｐ，而通过＇δＣＣＮｐ，则得出表达式ＣＣＮｐ。
但是，这种替代显然不能＇包括所有可能的情况。
我们不能用这个方法从δｐ得出Ｃｐｑ或ＣｐＣＮｐｑ，因为没有任何一种对δ的替代能将ｐ从它最后的位置上移开。
但是毫无疑问，最后所说的两个表达式正如Ｃｑｐ或ＣＣＮｐｐ一样，也是对δｐ的替代，因为δｐ，正如我所知道的那样，是代表所有包含ｐ的（包括ｐ和δｐ本身）有意义的表达式。
我可以用下述方法来克服这个困难，我首先用例子来说明这个方法。
为了从δｐ通过对δ的替代而得出Ｃｐｑ，我写作δＣ‘ｑ，我通过消除δ并用δ的主目、即用ｐ去填充由省略＇符号所划出的空栏来实现这种替代。
用同样的方法我从δｐ通过替代δＣ‘ＣＮ’ｑ得出表达式ＣｐＣＮｐｑ。
如果在表达式中出＇现不止一个δ，如在ＣδｐＣδＮｐδｑ中所出现的那样，而我想对这个表达式作出替代δＣ‘ｒ，那末，我就必须在每一次都消＇除δ并在消除的地方写上Ｃ’ｒ，以δ的相应的主目去填充空
…… 239
４７。
Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统A ７２
栏。
这样，我就从δｐ得出Ｃｐｒ，从δＮｐ得出ＣＮｐｒ，从δｑ得出Ｃｑｒ，而从整个表达式得出ＣＣｐｒＣＮｐｒＣｑｒ。
从同一表达式ＣδｐＣδＮｐδｑ通过替代δＣ‘“推出公式ＣＣｐＣＮｐＮｐＣｑ。
替＇代δ‘表示δ应当省略；通过这样的替代，我们就可以例如＇从ＣδｐＣδＮｐδｑ得出邓斯司各脱原则ＣｐＣＮｐｑ。
替代δδ‘是W ＇“同一的”替代，它不引起任何变化，一般地说，我们通过对δ的替代而从一个包含δ的命题得出一个新的表达式，这种替代是对δ写上一个带有至少一个空白处的有意义的表达式，并且以δ的各个主目去填充这些空白处。
这不是一个新的替代规则，而只是对一个变项函子的替代应当如何实行的一个描述。
Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统可以建立在被断定的单个公理之上，这个单个公理已为我们所熟悉：５１。
ＣδｐＣδＮＰδｑ对这个系统必须加入按照公理加以排斥的表达式ｐ以便产生所有被排斥的表达式。
麦雷狄士在一篇未发表的论文中表明，Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统的所有断定的公式都可以从公理５１推出。
①
①麦雷狄士在他的论文：《论一个命题演算的扩充系统》（Ｏｎ
ａｎ
ＥｘｔｅｎｄCｅｄ
Ｓｙｓｔｅｍｏｆ
ｔｈｅ
ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ
ｃａｌｃｕｌｕｓ）
（载《爱尔兰皇家科学院院刊》，都柏林，１９５１年，５４Ａ３）中证明，Ｃ—Ｏ—δ—ｐ演算，即以Ｃ和Ｏ作为基本词项和带有函子变项和命题变项的演算，可以从公理Ｃδｏδｐ完全地建立起来。
他的证明完全性能的方法可以运用于带有表达式ＣδＣδＮｐδｑ作为公理的Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统。
在第１６５页注②中所提到的我那篇关于模态逻辑的论文中，我从公理５１推出Ｃ—Ｎ—Ｐ系统的三个被断定的公理，即ＣＣｐｑＣｑｒＣｐｒ，ＣＮｐ，ＣｐＣＮｐｑ，以及某些出现δ的重要断定命题，其中包括扩展原则。
…… 240
８２２第七章 模态逻辑系统
推论规则就是通常的分离规则和对命题变项和函子变项的替代规则。
为了以例子说明这些规则如何发生作用，我将从公理５１推出同一律Ｃｐ。
可将这个推论与Ｃ—Ｎ—ｐ系统中对Ｃｐ证明加以比较。
①
５１。
δ‘，ｑｐ×５３＇５３。
ＣｐＣＮｐ
５１。
δＣｐＣＮｐ‘，ｑＮｐ×Ｃ５３—５４＇ ＇５４。
ＣｐＣＮｐＮｐＮｐＣＮｐＮｐ
５１。
δ‘，ｑＮｐ×５＇ ＇５。
ＣｐＣＮｐＮｐ
５。
ｐＣｐＣＮｐＮｐ×Ｃ５—５６＇５６。
ＣＮＣｐＣＮｐＮｐＮＣｐＣＮｐＮｐ
５１。
δＣ“
，ｐＣｐＣＮｐＮｐ，ｑｐ×Ｃ５４—Ｃ５６—５７＇５７。
Ｃｐ我想强调指出，在公理５１之上建立的系统比Ｃ—Ｎ—ｐ系统要丰富得多。
在包含δ的断定的结论中有这样的逻辑定律，像ＣＣｐｑＣｑｐＣδｐδｑＣδＣｐｑＣδｐδｑＣδＣｐｑＣｐδｑ——所有这些都是非常重要的定律，但是几乎所有的逻辑学家对它们都毫无所知。
例如，第一个定律是与ＣＱｐｑＣδｐδｑ等值的扩展原则，第二个定律可以采用为称作“蕴涵”系统的唯一的公理；第三个定律可以采用为称作“实证”
逻辑的一个公理。
所有这些定律都可以用真值表方法按照下面给予的规则加以验证。
在二值逻辑中存在四个并且也只有四个带有一个主目的
①参阅第１０２页。
…… 241
４８。
δ－定义A ９２
不同函子，这里用Ｖ，Ｓ，Ｎ和Ｆ来标志（参阅真值表Ｍ６）
对验证δ－表达式，用下述实用规则是足够的，这个规则实际上应当归功于列斯涅夫斯基。
这个规则是：相继地写下函子Ｖ，Ｓ，Ｎ和Ｆ以代替δ，然后消除Ｓ，将Ｖａ变成Ｃｐ，而将Ｆａ变成ＮＣｐ。
如果你们在所有的情况下都得出一个真的Ｃ—Ｎ—公式，那末，这个表达式就被断定，否则，就应当被排斥。
例如，ＣδＣｐｑＣδｐδｑ应当被断定，因为我们有ＣＳＣｐｑＣＳｐＳｑ＝ＣＣｐｑＣｐｑ，ＣＮＣｐｑＣＮｐＮｑ，ＣＶＣｐｑＣＶｐＶｑ＝ＣＣｐＣｐＣｐ，ＣＦＣｐｑＣＦｐＦｑ＝ＣＮＣｐＣＮＣｐＮＣｐ。
表达式ＣＣｐｑＣδｐδｑ应当被排斥，因为ＣＣｐｑＣＮｐＮｑ不是一个真的Ｃ—Ｎ—公式。
由此，我们看到，Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统的所有表达式用真值表的方法都是容易加以证明或否证的。
４８。
δ－定义A函子δ可以成功地运用于表达定义。
《数学原理》的作者们用一个特殊的符号表达定义，这特殊的符号由将定义项和被定义项联结起来的等号“＝”
，以及放在定义之后的字母
…… 242
０３２第七章 模态逻辑系统
“ＤＦ”所组成。
按照这个方法，析取式的定义就可以这样来表示：ＣＮｐｑ。
＝。
Ｈｐｑ
Ｄｆ，这里ＣＮｐｑ（“如果非ｐ，那末ｑ”）是定义项，而Ｈｐｑ，（“或者ｐ，或者ｑ”）是被定义项。
①符号“。
＝。
Ｄｆ“是与一个特殊的推论规则联结在一起的，这个推论规则允许用被定义项代替定义项，以及反转过来。
这种定义的优点在于结果是直接给予的。
但是它却具有增加基本符号和推论规则的数目这样的缺点，而这些数目应当尽可能地减少。
列斯涅夫斯基总是将同样的定义写成一个等值式，因此，在他的系统中没有引入用以表达定义的新的基本词项。
为了这个目的，他选择了等值式作为他的命题逻辑的基本词项，这个命题逻辑借助于函子变项和量符而加以扩展，并且被他称之为“原始命题演算系统”
（ｐｒｏｔｏｔｈｅｔｉｃ）。
这正是他的观点的优越之处。
但另一方面，他不能直接用被定义项代换定义项，或者反转过来，因为等值式具有允许作出这种代换的一些特殊规则。
在我们的Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统中，等值式不是基本词项；因此对它必须给以定义，但是为了避免恶的循环，它不能用等值式来下定义。
然而，我们将看到，可以用一定的方法将Ｃ和δ去表达定义，这种方法保存了上述两种观点的优点，而避免了它们的缺点。
①我通常用Ａ表示析取，但这个符号在我的三段论中已经具有了别的意义。
…… 243
４８。
δ－定义A １３２
一个定义的目的在于引入一个新的词项，这个词项通常是由我们已知的词项所组成的一些复合表达式的一个简化式。
定义的两部分（定义项和被定义项）
为了产生一个合式的定义，必须满足某些条件。
下述四个条件对引入我们系统中的新的函项的定义是必要的也是充分的：（ａ）
不管是定义项还是被定义项，都须是命题的表达式。
（ｂ）定义项必须由基本词项，或者由用基本词项已经定义过的词项组成。
（ｃ）
被定义项须要包含通过定义而引入的新的词项。
（ｄ）在定义项中所出现的任何自由变项，必须在被定义项中也出现，反过来也是一样。
容易看到，例如作为定义项的ＣＮｐｑ和作为被定义项的Ｈｐｑ就遵守了上述四个条件。
我们现在以ｐ和Ｒ标志满足（ａ）—（ｄ）的条件的两个表达式，因此，其中之一（究竟是哪一个，这没有关系）可以取作定义项，而另一个取作被定义项。
假定其中任何一个都不包含δ。
我认为，这个断定的表达式ＣδＰδＲ就代表一个定义。
例如：５８。
ＣδＣＮｐｑδＨｐｑ代表析取的定义。
按照５８式，任何包含ＣＮｐｑ的表达式可以直接改变为另外一个表达式，其中ＣＮｐｑ被Ｈｐｑ所代换。
我们可以取邓斯司各脱原则作为例子：W５９。
ＣｐＣＮｐｑ，我们可以通�
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